人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练，共51页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181714972" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc181714972 \h 2
\l "_Tc181714973" 题型一：抛物线的几何性质 PAGEREF _Tc181714973 \h 2
\l "_Tc181714974" 题型二：直线与抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc181714974 \h 4
\l "_Tc181714975" 题型三：中点弦问题 PAGEREF _Tc181714975 \h 8
\l "_Tc181714976" 题型四：焦半径问题 PAGEREF _Tc181714976 \h 10
\l "_Tc181714977" 题型五：弦长、面积问题 PAGEREF _Tc181714977 \h 12
\l "_Tc181714978" 题型六：定点定值问题 PAGEREF _Tc181714978 \h 17
\l "_Tc181714979" 题型七：最值问题 PAGEREF _Tc181714979 \h 21
\l "_Tc181714980" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc181714980 \h 28
\l "_Tc181714981" 【高考真题】 PAGEREF _Tc181714981 \h 43
【题型归纳】
题型一：抛物线的几何性质
1．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，两条曲线在第一象限的交点，为椭圆上一点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．直线是抛物线的切线D．有且只有两个点，满足
【答案】AC
【解析】对于A中，由在抛物线上，可得，解得，所以A正确；
对于B中，因为椭圆与抛物线的焦点重合且两条曲线在第一象限的交点，
可得，且，解得，所以B不正确；
对于C中，直线的方程为，代入抛物线，整理得，
其中，所以直线是抛物线的切线，所以C正确；
对于D中，如图所示，取，则，所以，
所以，所以椭圆不存在点使得，所以D不正确.
故选：AC.
2．（多选题）（2024·高二·河北邢台·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线没有离心率
B．抛物线的离心率为1
C．若直线与抛物线只有一个交点，则该直线与抛物线相切
D．抛物线一定有一条对称轴，一个顶点，一个焦点
【答案】BD
【解析】抛物线上的点M到焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫作抛物线的离心率，
所以由抛物线的定义可知抛物线的离心率为1，故A不正确，B正确；
若直线与抛物线的对称轴平行，则直线与抛物线也只有一个交点，
此时直线与抛物线相交，所以C不正确；
抛物线有且仅有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，所以D正确．
故选：BD.
3．（多选题）（2024·高二·陕西·期中）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】由已知抛物线方程为，其对称轴为，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为，此时与抛物线只有一个交点成立，
当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在，
设直线方程为，
联立直线与抛物线，得，
由直线与抛物线只有一个交点，可知，
解得或，
所以直线方程为或，即，或，
综上所述：直线方程为或，或，
故选：ABC.
4．（多选题）（2024·高三·湖北咸宁·阶段练习）过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．为定值
B．若经过点A和抛物线的顶点的直线交准线于点C，则轴
C．存在这样的抛物线和直线AB，使得OA⊥OB（O为坐标原点）
D．若直线AB与x轴垂直，则
【答案】ABD
【解析】
由已知可得AB的斜率不等于0，
所以设AB的方程为，
联立直线与抛物线的方程，消去x得，
所以为定值，即A正确，
经过点A和抛物线的顶点的直线的方程为，与准线的交点的坐标，
因为，
所以，即轴，所以B正确，
因为，
所以不可能，即C错误，
当AB与x轴垂直时，，
则由抛物线定义得，所以D正确，
故选:ABD．
题型二：直线与抛物线的位置关系
5．（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程.
（2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合.
【解析】（1）由题意知，直线的斜率存在.
设直线斜率为，则切线方程为，
由消去x，得.
当时，此时直线，与抛物线只有一个公共点；
当时，所以，解得，即过M点的切线有两条.
所求直线l的方程为或.
综上所述，所求直线l的方程为，或，或.
（2）因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，
所以方程组只有一组实数解，
消去y，得，即①.
当，即时， 直线为，直线与曲线恰一个公共点；
当，即时，
由，解得（舍去）或.
当时，由方程①化为，解得，
代入直线方程为，解得，即此时直线与曲线恰一个公共点.
综上，实数a的取值集合是.
6．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程．
(2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．
【解析】（1）设P的坐标为，则点Q的坐标为．
因为，
所以.
所以．
∴点P的轨迹方程为．
（2）
直线PB与曲线C相切，设点P的坐标为，
点A的坐标为．
因为，
所以．
所以点B的坐标为．
所以直线PB的斜率为．
因为
所以．
所以直线PB的方程为
代入，
得.
因为
所以直线PB与曲线C相切．
7．（2024·高二·河南焦作·期末）已知抛物线，直线与交于点(与坐标原点不重合)，过的中点作与轴平行的直线，直线与交于点与轴交于点
（1）求；
（2）证明:直线与抛物线只有一个公共点.
【解析】（1）联立方程，可得：，解得
所以，
因为是的中点，所以
直线，点
将代入，得
所以.
因为，
所以直线的方程为，
与联立消去得，
因为，
所以直线与抛物线只有一个公共点.
8．（2024·高二·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，动圆过点，且与直线相切，设圆心的轨迹是曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知，，过点的直线交曲线于点，（位于轴下方），中点为，若直线与轴平行，求证：直线与曲线相切.
【解析】（1）依题意，点到点的距离等于它到直线的距离，.故点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线.
因此，曲线的方程为.
（2）依题意可设，，，设直线的方程为，
由消去得：①，
所以，
因为直线与轴平行，所以
此时方程①为，解得，，即，
所以的方程为，即，
由消去得：，
，所以与曲线相切
题型三：中点弦问题
9．（2024·高二·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 .
【答案】2
【解析】若，此时与抛物线只有1个交点，不合题意，
故，
联立，整理得，
由0，解得，
设，
则
因为中点的横坐标为2，则，
故，解得（舍去）或，
所以.
故答案为：2
10．（2024·高二·广东江门·期中）已知线段是抛物线的一条弦，且中点M在上，则点A横坐标最大值为
【答案】2
【解析】由题意，设Ax1,y1,Bx2,y2，
由抛物线范围可知，，
所以如图，
当点A在原点时横坐标有最小值，为0，
由AB中点M在上，可知，即，
所以，
即如图，
当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2.
故答案为：2.
11．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】设，，由题意，
因为，在抛物线上，所以，，两式相减得，
，整理得，，
即直线的斜率，
直线的中点为，
，
，
所以直线的方程为，化简得.
故答案为：.
题型四：焦半径问题
12．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由椭圆方程可知，则，
由题意可设直线的方程为：，，
与抛物线方程联立可知，即，
又，
所以.
故选：D
13．（2024·高二·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【解析】
抛物线的焦点，
设，假设，
显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零，
设弦所在的直线方程为，
联立，消去可得，，
所以，
因为，所以，则，
所以，解得，所以，
所以，
所以弦的中点的坐标为，
所以弦的中点轴的距离为，
故选:C.
14．（2024·高二·广东珠海·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则的中点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．
已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，
设抛物线的准线交轴于点，的中点为，
过作准线的垂线使得，，，轴于，
设，又，则，，
则，又，则，
又，则，即，
则，
故选：C．
15．（2024·高二·江西宜春·开学考试）设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线C交于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，
所以直线方程为，代入抛物线方程并整理得，
设，，则，
又，∴，所以.
故选：B
题型五：弦长、面积问题
16．（2024·高二·全国·课后作业）若，是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，则的最大值为 ．
【答案】6
【解析】
设Ax1,y1，Bx2,y2，中点，
则，
设斜率为，则，
相减得：，
因为，即，
设抛物线的焦点为，，
所以，当且仅当，，三点共线时等号成立，
此时满足在抛物线内部，
所以AB的最大值为6.
故答案为：6.
17．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，轴被以为直径的圆所截得的弦长为6，则 ．
【答案】10
【解析】
抛物线C：的焦点F1,0，易知当斜率不存在时不符合题意，
故设直线的方程为y=kx-1，，
设Ax1,y1，Bx2,y2．
则即，
恒成立，
故，
AB中点的横坐标为，
即以为直径的圆的圆心到轴的距离
又，即以为直径的圆的半径，
由图知，，即，
解得，故．
故答案为：10.
18．（2024·高二·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，四边形的面积为，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知直线有斜率且不为0,设所在直线方程为，
联立，得．
不妨设在第一象限，,，,，
则，
又，，即，
联立，解得或（舍，
则，即，进而可得
所以
解得，
故答案为：
19．（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）已知抛物线的焦点为F，直线与轴的交点为A，与C的交点为P，且．
(1)求C的方程；
(2)延长交抛物线于Q，O为坐标原点，求的面积．
【解析】（1）设，代入由中得，
所以，，
由题设得，解得（舍去）或．
所以的方程为；
（2）由（1）知,F1,0,
所以直线方程为，即，
联立，
则,故，
故，
原点到直线的距离为，
故.
20．（2024·高二·陕西榆林·期末）已知抛物线：（）的焦点关于其准线的对称点为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，求的面积.
【解析】（1）抛物线：y2=2pxp>0的焦点关于其准线的对称点为，
于是，解得：，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由消去x得：，则，
所以的面积.
题型六：定点定值问题
21．（2024·高二·福建厦门·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且A到的焦点的距离为1．
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线C交于两点，，且，试探究直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由．
【解析】（1）依题意可得，解得，所以抛物线方程为：；
（2）设直线显然存在，
联立方程，化简可得
所以
在抛物线C上，故，
，解得或，
因为，所以，得
所以直线过定点.
22．（2024·高二·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：和点．点Q在E上，且．
(1)求E的方程；
(2)若过点H作两条直线，，与E相交于A，B两点，与E相交于C，D两点，直线AB，CD，AD，BC的斜率分别为，，，．证明：．
【解析】（1）因为,所以，
因为点Q在E上，所以，所以，
所以E的方程为：.
（2）设
所以直线的斜率为
直线的斜率为
直线的斜率为
直线的斜率为
所以
所以.
23．（2024·高二·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值.
【解析】（1）因动点到点的距离等于点到直线的距离，故可知动点的轨迹是抛物线，
设其方程为，由题意得，故动点的轨迹方程为：
（2）
如图，因直线的斜率不能为零（否则直线与抛物线只有一个公共点），又过点，
可设由消去并整理得：，
显然设，则由韦达定理，（*）
则，
将（*）代入得：,
故为定值.
24．（2024·高二·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点．
【解析】（1）由题可知，点P到抛物线准线的距离为5，
因为抛物线的准线方程为，点P的横坐标为4，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）证明：设，且，
联立消去x可得，
则，且，即，
所以，
由，得，即，
解得（舍）或，故直线l的方程为，
所以直线l必过定点．
25．（2024·高二·江苏苏州·期末）已知抛物线，记其焦点为.设直线：，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线的距离为，且.
(1)求的方程；
(2)如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若交于点，交抛物线于、两点，证明：为定值.
【解析】（1）抛物线的准线的方程为，
则可知，解得，
所以的方程为.
（2）作于，于.
由抛物线定义，，，
又因为，，
所以，，
由此，，，
所以，，
所以，为定值.
题型七：最值问题
26．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值.
【解析】（1）由题意，
如图， ∵，
∴，
又∵不在轴负半轴上，
∴与直线垂直，
又∵，
∴点的轨迹是以1,0为焦点，为准线的抛物线，
∴点的轨迹方程为.
（2）
由得，
∵与交于两点，
∴，
设，，则，
又∵，
∴，
∵的斜率为，
∴直线的方程为，
设，，同理得，，
∴
，
当且仅当即时取到“=”，
∴的最小值为16.
27．（2024·高二·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点
(1)设直线的方程为，求线段的长
(2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程
(3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围
【解析】（1）由抛物线方程知：F1,0，则直线过焦点，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
由得：，，
.
（2）由题意知：直线斜率不为零，可设，Ax1,y1,Bx2,y2，
由得：，则，解得：；
，，
，，，
，
解得：（满足），
直线得方程为：或.
（3）
由题意知：直线斜率不为零，可设，，，，
，；
由得：，则，即，
，，，
由得：，
即，，，
，，即的取值范围为.
28．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点及抛物线上一点满足的最小值为.
(1)求；
(2)过点作两条直线分别交抛物线于点，，并且都与动圆相切，若直线经过点，求的最小值.
【解析】（1）设抛物线的焦点为F，由题意得，即，
所以，
当且仅当M、P、F三点共线时取等号.
因为的最小值为，
所以，解得.
（2）由（1）知，，故N在抛物线上，直线NQ 、 NP斜率都存在，
设直线NQ 、 NP斜率分别为、，，
则直线NQ的方程为，
由，可得，
所以，则，又Q在抛物线上，
所以，同理，
又直线PQ过点M，所以，
即，解得，即，
因为NQ与NP都与圆C相切，所以直线NC是的角平分线，
由题意知NC的斜率存在，设直线NC的斜率为k，
则，解得，
当时，NC过原点，此时直线不经过点，故舍去，所以，
所以直线NC的方程 ,
所以的最小值即是点到直线NC的距离d，即，
所以的最小值为.
29．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离是．
(1)求p的值；
(2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段的中垂线与E的准线l交于点P，且线段的中点为M，设，求实数的取值范围．
【解析】（1）E的焦点为，
双曲线的渐近线方程为，不妨取，即．
由点到直线的距离公式得，
得．
（2）由（1）知，，：．
设直线的方程为，
联立消去x并整理，得，
设，，则，，
，
∴．
易得M点的坐标为，
∴的中垂线方程为，
令得，
∴，
从而，
∴，
∴实数的取值范围为．
30．（2024·高三·重庆沙坪坝·期中）已知抛物线的顶点为，过点的直线交于两点.
(1)判断是否为定值，并说明理由；
(2)设直线分别与直线交于点，求的最小值.
【解析】（1）当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设直线的方程为，
联立得，
设，则，
所以，
所以为定值-4.
（2）直线的方程为，直线的方程为，
由，得点的横坐标，
同理：点的横坐标为，
于是
，
令，则，
所以，
综上所述：当，即时，的最小值为.
31．（2024·高二·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
(2)求曲线上的点到直线的最短距离.
【解析】（1）已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，
则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，
设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）不妨设点是抛物线上的点，
则点到直线的距离，
易知当时，，
故曲线上的点到直线的最短距离为．
【重难点集训】
1．（2024·高二·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】设的中点，抛物线的准线为，
如图，作，垂足分别为.
由直角梯形的性质可得，
取抛物线焦点为，由抛物线定义可得，
当且仅当直线经过点时取等号，
所以线段中点的横坐标的最小值为．
故选：B.
2．（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，是直角三角形B．当时，是等腰三角形
C．存在四边形是菱形D．存在四边形是矩形
【答案】C
【解析】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设，
则，焦点，
A选项，当时，解得，所以，
则，是直角三角形，A选项正确.
B选项，当时，解得，所以，
由于，所以关于直线对称，而，
所以此时是等腰三角形.
对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形，
则，则，
此时，，
所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.
故选：C
3．（2024·高二·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】F1,0，
设，
则，所以，则，
故，
所以，
则直线的倾斜角，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
联立，消得，
，
设，
则，
所以.
故选：A.
4．（2024·高二·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则两式相减得，整理得，
因为的中点为，则，
所以，即直线的斜率为.
故选：D.
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；
点到直线的距离为，到准线的距离为，
由抛物线的定义知：，
所以点到直线和准线的距离之和为，
且点到直线的距离为，
所以的最小值为.
故选：D
6．（2024·高二·浙江·期中）已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】由题意得，焦点坐标为F0,1，
当直线斜率不存在时，不满足交抛物线于两点，舍去，
设直线方程为，联立得，，
方程的判别式，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，
则，，
其中的圆心为F0,1，半径为1，
故，同理可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
7．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，所以
，
因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，
当时显然恒成立，当时恒成立，
所以，则，又，所以，即实数的取值范围为.
故选：B
8．（2024·高二·内蒙古兴安盟·期中）已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】D
【解析】过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义可知，，
由图知，当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值，
此时点纵坐标为4，代入抛物线方程可得，
则的面积为．
故选：D
9．（多选题）（2024·高二·河南·阶段练习）已知F是抛物线的焦点，l是C的准线，N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆相切于点E，过点N作l的垂线，垂足为P，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则的面积为或
C．的周长的最小值为4
D．若为等边三角形，则
【答案】ABD
【解析】依题意，，，直线，则，
记l交x轴于点M，坐标原点为O，，则，，
， ，
，，
对于A，由，得或，或，A正确；
对于B，或，B正确；
对于C，的周长为，令，
由，得，，C错误；
对于D，若为等边三角形，则，，D正确.
故选：ABD
10．（多选题）（2024·高二·江苏南京·期中）设抛物线y2=2pxp>0的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A．B．点的坐标为0,2
C．D．直线的方程为
【答案】AC
【解析】由题意得，焦点为，准线为，
设的坐标为，由为的中点得，，即
由点到抛物线准线的距离为，得，解得，故A正确；
则抛物线为，，则，故，
所以的坐标为0,2或，故B错误；
的面积为，故C正确；
由、M0,2或知，直线的方程为
，即，故D错误.
故选：AC
11．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某曲线C的方程为，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C关于对称
B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C与直线交于A、B两点，则
D．点在曲线C上，则的取值范围为
【答案】AD
【解析】对于A：将，互换代入曲线，
得，方程不变，所以曲线关于对称，所以A选项正确：
对于B：，即，
将其看成关于的一元二次方程，根据判别式法得，
解得，若，则，此时，故B错误.
对于C：将代入方程，
可得，即，解得或，
所以，
则，所以C选项错误；
对于D：因为，
由题意可知，即，
又因为，
所以，则，当且仅当时等号成立；
因为，则，则，当且仅当时等号成立；
则，此时，
即，所以D选项正确.
故选:ABD.
12．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ．
【答案】
【解析】易知，直线的方程为，
由得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，
所以，
解得，所以的准线方程为．
故答案为：
13．（2024·高二·全国·课后作业）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上的任一点到其焦点的距离比其到轴的距离大1，过作直线交抛物线于，以线段为直径的圆交轴于，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由抛物线定义可知，即，则焦点为F1,0或，
取F1,0，则抛物线方程为．
设直线，代入，得．
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，，
则．
则以线段为直径的圆的圆心，
半径，
过作于点，连接，
，
当时，有最小值．
同理可设当取抛物线方程为时，也有最小值．
故答案为：
14．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为 ．
【答案】
【解析】由题知焦点F1,0，准线为，直线的方程为：，
联立，可得，
所以或（舍），，
，
所以．
故答案为：.
15．（2024·高二·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点.
(1)证明：三点共线；
(2)若，求直线的方程.
【解析】（1）
证明：拋物线的焦点坐标为F1,0，
设直线的方程为，点，
联立，消去得，则，
所以，因为，所以，
又，所以，
即，所以三点共线.
（2）因为，所以，于是，即，
由（1）知，
所以直线的方程为.
16．（2024·高二·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）.
【解析】（1）抛物线焦点的坐标为，
当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程，
化简并整理得，，显然，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
则
，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，
显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程，
化简并整理得，显然，
所以，
又，所以，
因为，
所以
，
所以，则，
设的面积为，
则，
所以的面积为.
17．（2024·高二·四川宜宾·期末）已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为1．
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于两点，过原点作直线的垂线交于点（异于点）．当四边形的面积为时，求直线的方程．
【解析】（1）
由题知，当点在原点上时，PF的最小，所以，所以，所以抛物线的方程为．
（2）设方程为
由联立得：．于是，，
于是，
直线方程为．
由联立得：．解得或．
于是，点，所以
所以四边形的面积
即，令，则，所以
于是，．
即
即解得或
于是，或
所以直线的方程为或
18．（2024·高二·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线AB过定点；
【解析】（1）抛物线，,
其焦点为，准线方程为，
可得，且，
解得，或（舍去），，
则抛物线的方程为；
（2）如图，设直线的方程为，，
联立，可得，
则，又，所以，
由，可得即，解得，或（舍去），
所以直线恒过定点.
【高考真题】
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（多选题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
【答案】ABD
【解析】对于A：设曲线上的动点Px,y，则且，
因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确.
对于B：又曲线方程为，而，
故.
当时，，
故在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得，取，
则，而，故此时，
故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得，
故，故D正确.
故选：ABD.
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则A(3p4,6p2)，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为x=12 6y+p2，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则B(p3,-6p3)，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，OA⋅OB=(3p4,6p2)⋅(p3,-6p3)=3p4⋅p3+6p2⋅-6p3=-3p24