高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线练习题，共27页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181712544" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc181712544 \h 1
\l "_Tc181712545" 题型一：抛物线的定义 PAGEREF _Tc181712545 \h 1
\l "_Tc181712546" 题型二：抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc181712546 \h 2
\l "_Tc181712547" 题型三：轨迹方程—抛物线 PAGEREF _Tc181712547 \h 4
\l "_Tc181712548" 题型四：抛物线距离和与差的最值问题 PAGEREF _Tc181712548 \h 7
\l "_Tc181712549" 题型五：抛物线的实际应用 PAGEREF _Tc181712549 \h 9
\l "_Tc181712550" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc181712550 \h 12
\l "_Tc181712551" 【高考真题】 PAGEREF _Tc181712551 \h 24
【题型归纳】
题型一：抛物线的定义
1．（2024·高二·吉林·期末）设为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】由题意得F1,0，设，
因为，所以，
故，
由抛物线焦半径公式得，
故.
故选：C
2．（2024·高二·黑龙江·期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为5，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】因为抛物线的准线方程的为，
由抛物线的定义可得，解得.
故选：C
3．（2024·高二·辽宁沈阳·期末）已知抛物线顶点在原点，且以坐标轴为对称轴，则“焦点到准线的距离为2”是“抛物线的标准方程为”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】根据题意可知“焦点到准线的距离为2”可得，
抛物线方程可以为或或或，
因此充分性不成立；
若“抛物线的标准方程为”可得，即可得抛物线“焦点到准线的距离为2”，
即必要性成立；
所以“焦点到准线的距离为2”是“抛物线的标准方程为”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2024·高二·甘肃·期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（ ）
A．B．C．10D．11
【答案】A
【解析】设M点坐标为，由题，，所以，
代入抛物线方程得，所以，
的周长为.
故选：A.
题型二：抛物线的标准方程
5．（2024·高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线C的标准方程为．
故答案为：．
6．（2024·高二·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】．
【解析】圆的标准方程为，
圆心坐标为，即焦点坐标为，
，抛物线的标准方程为．
故答案为：．
7．（2024·高二·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ．
【答案】或
【解析】由题意得，当时，，解得；
当或时，，解得，
所以抛物线的方程是或.
故答案为：或.
8．（2024·高二·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.
【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，
可知抛物线焦点在轴负半轴上，且，
故抛物线标准方程为；
（2）由题意顶点在原点，且过点-3,2，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上，
则设抛物线标准方程为或，
分别将-3,2代入，有，，求得，，
故抛物线标准方程为或.
（3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上，
有抛物线焦点在轴正半轴上，
又因为抛物线上一点到焦点的距离为5，
则设抛物线方程为，焦点为，准线为，
根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
故，故抛物线标准方程为.
题型三：轨迹方程—抛物线
9．（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线 的焦点在直线 上滑动，对称轴作平行移动，当抛物线的焦点移到点 时，抛物线方程为 ．
【答案】
【解析】因为焦点在直线 上滑动，令 ，得
所以焦点坐标为
所以抛物线方程为
又因为平移后的焦点在 上，代入解得
，平移后的焦点坐标为
平移向量为
所以平移后的抛物线方程为
10．（2024·高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
【解析】设动圆圆心Mx,y，半径为r，N0,12
依题意，MN=r-12，r=y+1，
消去r，得x2+y-122=y+12，
化简得，
所以曲线C的方程为．
11．（2024·高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程.
【解析】设，则，所以，化简得，
故的方程为.
12．（2024·浙江·一模）在平面直角坐标系中，，，，，，是的中点，当在轴上移动时，与满足的关系式为 ；点的轨迹的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意得 ,即 ；
设，则，所以 ，因为，所以 ，从而点的轨迹的方程为.
故答案为：；
13．（2024·高二·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，，
则，，，
因为， 则，
又因为，则，即，
可得，即．
故点的轨迹方程是．
故答案为：.
14．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】如图，
设Ax1,y1，，则，
依题意，四边形为矩形，
则，即，
所以，即，
则，
所以顶点的轨迹方程为，
故答案为:．
题型四：抛物线距离和与差的最值问题
15．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知点在圆上，动圆与圆内切并与直线相切，圆心为，则PC的最小值为 .
【答案】/
【解析】如图，设圆的半径为，则；
又到的距离为，则到的距离为.
所以C的轨迹是以O为焦点，以为准线的抛物线，顶点为，
则
16．（2024·高二·河南南阳·期中）抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为 .
【答案】
【解析】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接，
由题知，焦点，，．
因为直线的斜率为，所以为正三角形，
所以，，
所以．
记关于直线的对称点为，则．
当，，三点共线时，，
所以周长的最小值为．
故答案为：
17．（2024·高三·广东·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，设抛物线上的动点到直线和的距离分别为，，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，
且椭圆上的点到其右焦点距离的最小值为，
得，
所以，故，
因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
所以，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
则抛物线上的动点到直线的距离，
则，
点到直线的距离，
则，
当且仅当垂直于直线时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
18．（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由抛物线的定义知，，所以
所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值.
故答案为：
题型五：抛物线的实际应用
19．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，
设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：，
∴抛物线方程为，
∵行车道总宽度，
∴将代入抛物线方程，解得：，
∴车辆通过隧道的限制高度为，
故选：C.
20．（2024·高二·吉林长春·开学考试）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，其焦点坐标为．校门最高点到地面距离约为18.2米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18米B．21米C．24米D．27米
【答案】C
【解析】依题意知，抛物线，即，
因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以，
所以抛物线方程为，
令，则，解得，
所以校门位于地面宽度最大约为米.
故选：C.
21．（2024·河北石家庄·一模）截至2023年2月，“中国天眼”发现的脉冲星总数已经达到740颗以上．被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST），是目前世界上口径最大，灵敏度最高的单口径射电望远镜（图1）．观测时它可以通过4450块三角形面板及2225个触控器完成向抛物面的转化，此时轴截面可以看作拋物线的一部分．某学校科技小组制作了一个FAST模型，观测时呈口径为4米，高为1米的抛物面，则其轴截面所在的抛物线（图2）的顶点到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】如图，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，
则设抛物线的方程为，
由题可得抛物线上一点，代入抛物线方程可得，所以，
即抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故顶点到焦点的距离为.
故选：A.
22．（2024·高三·辽宁营口·期末）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
【重难点集训】
1．（2024·高二·四川宜宾·期末）已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】如图，
直线l：中，令，可得，令，可得，
所以，，
由抛物线C：y2=2pxp>0可得，
所以，所以，
解得.
故选：A
2．（2024·高二·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到的距离为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】如图，不妨设点在轴上方，准线与轴交于点，
因为点在抛物线上，所以，，
又，为正三角形，，
又，在中，即，
解得或（舍去），所以到的距离为.
故选：A.
3．（2024·高二·江苏南京·期末）已知的顶点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析：由题意知，，设，
由抛物线定义可得，，，
所以，
因为，所以，
则，所以．
故选：C．
4．（2024·高二·吉林长春·期末）已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【解析】因为直线，即，过定点，记作点A，
因为，垂足为，所以，又，
故点P的轨迹为以为直径的圆，半径，圆心为，记作点B，
又因为Q在抛物线上，其准线为，
所以等于Q到准线的距离，
过点Q做准线的垂线，垂足为R，要使取到最小，即最小，
此时，三点共线，且三点连线后直线过圆心B，如图所示，
此时.
5．（2024·全国·模拟预测）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点．若为抛物线内部一点，且周长的最小值为，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程为，焦点．
因为点在抛物线内部，如图，过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，
所以周长为，
故当，，三点共线时，
取得最小值，且，
则周长的最小值为，
解得，
此时抛物线C的准线方程为.
故选：B
6．（2024·高二·福建莆田·阶段练习）若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，为抛物线上的任意一点，由题意可得：，
所以，所以，故D正确.
故选：D.
7．（2024·高二·陕西西安·期中）抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的准线为，准线与直线的距离为，
故，解得，故此抛物线的方程为.
故选：B.
8．（2024·高二·重庆·期中）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（ ）
A．10B．8C．5D．4
【答案】B
【解析】由题意知抛物线C：上一点，则，
又，故在抛物线C：的外部，
则，
因为抛物线C：的焦点为，准线方程为，则，
故，
由于，当三点共线（P在之间）时，
取到最小值,
则的最小值为，
故选：B
9．（多选题）（2024·高二·江苏南京·期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是（ ）.
A．1B．3C．4D．5
【答案】CD
【解析】抛物线的焦点，准线，圆的圆心为，半径为1，
过点作于，设点，，，
，
当且仅当三点共线，点位于之间时等号成立，
，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，AB不可能，CD可能.
故选：CD
10．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．，
B．直线的斜率为1时，
C．的最小值为6
D．以为直径的圆与的准线相切
【答案】AD
【解析】依题意可知直线过抛物线的焦点F1,0,且直线的方程可设为,
将直线方程与抛物线方程联立可得，
因为，所以，,
所以,
，故A正确；
,
当时,AB有最小值4，故C错误；
当直线的斜率为1时，则，故，故B错误；
设线段的中点为，则,
所以点到准线的距离为,
所以以为直径的圆与的准线相切,故D正确.
故选:AD.
11．（多选题）（2024·高二·山东烟台·期末）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
【答案】ABD
【解析】因为是线段的中垂线上的点，，
若在圆内部，且不为圆心，则，，
所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确；
若在圆外部，则，，
所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确；
若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．
若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，
所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确，
不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误，
故选：ABD
12．（2024·高二·河南商丘·期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ．
【答案】/
【解析】抛物线的焦点的坐标为2,0，准线方程为，
由抛物线定义可得点到直线的距离等于PF，
过点作直线的垂线，垂足为，
所以点到直线与到直线的距离之和等于，
由两点之间线段最短可得，
过作直线的垂线，垂足为，
，
所以，
当且仅当三点共线时等号成立．
故答案为：.
13．（2024·高二·河北保定·期末）已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为 .
【答案】
【解析】
如图，过点作于点，则，
由图知①，
由可得，②，
又点在抛物线上，可得，，即③，
把①式代入②式，，解得，，
回代入①可得，，代入③式整理得， ，
解得，或（舍去），故抛物线方程为：.
故答案为：.
14．（2024·江苏南通·二模）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则 ．
【答案】
【解析】如图所示，不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为，
联立方程组，解得，即，
又由，可得轴，因为，可得，
所以直线的倾斜角为，
因为抛物线的焦点为，则，
整理得且，解得，
即，解得或（舍去）.
故答案为：.
15．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知抛物线，其准线方程为．
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，，若以线段为直径的圆过坐标原点，求的值．
【解析】（1）准线为，，
抛物线的方程为；
（2）
设Px1,y1，Qx2,y2，联立得，
，得，
则，，
所以
以为直径的圆过坐标原点，所以，即，
则，
或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，
又，
综上，的值为．
16．（2024·高二·全国·专题练习）已知点，为直线x=-1上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．
【解析】设Px,y，，，又，
则，，，
，
由，得，且易知点均不在轴上，
故，且，
由，得，即，
由，得，即，所以，
故动点的轨迹的方程为：.
17．（2024·高二·全国·专题练习）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.求曲线的方程.
【解析】解法一：设为曲线上任意一点，
依题意，点到的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
解法二：设为曲线上任意一点，
则，
依题意，点只能在直线的上方，所以，
所以，
化简得，曲线的方程为.
18．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知拋物线的准线方程为，过点作斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，.
(1)求的取值范围；
(2)若为直角三角形，且，求的值.
【解析】（1）由题意可知：抛物线的方程为，
直线的斜率存在，设直线方程为，
联立方程组，消去得，
要使直线与抛物线交于不同的两点，，则，
即，解得或，
所以们取值范围为或.
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，由（1）可知，是的两个根，
则，，
解法一：因为，则，即，
可得
，
解得或，
结合（1）中的取值范围可知：.
解法二：因为，所以，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，解得，
此时满足（1）中的取值范围，所以.
【高考真题】
1．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
3．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
4．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【解析】由知抛物线的准线方程为x=-1，设点Px0,y0，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
5．（2024年北京高考数学真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
6．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
7．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【解析】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；.
8．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【解析】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.