人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精练，共51页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc181197083" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc181197083 \h 2
\l "_Tc181197084" 题型一：椭圆的几何性质 PAGEREF _Tc181197084 \h 2
\l "_Tc181197085" 题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值 PAGEREF _Tc181197085 \h 4
\l "_Tc181197086" 题型三：求离心率的值 PAGEREF _Tc181197086 \h 6
\l "_Tc181197087" 题型四：求离心率的范围 PAGEREF _Tc181197087 \h 8
\l "_Tc181197088" 题型五：点与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc181197088 \h 10
\l "_Tc181197089" 题型六：直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc181197089 \h 13
\l "_Tc181197090" 题型七：弦长问题 PAGEREF _Tc181197090 \h 14
\l "_Tc181197091" 题型八：中点弦问题 PAGEREF _Tc181197091 \h 18
\l "_Tc181197092" 题型九：椭圆的实际应用 PAGEREF _Tc181197092 \h 20
\l "_Tc181197093" 题型十：定点定值问题 PAGEREF _Tc181197093 \h 23
\l "_Tc181197094" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc181197094 \h 27
\l "_Tc181197095" 【高考真题】 PAGEREF _Tc181197095 \h 41
【题型归纳】
题型一：椭圆的几何性质
1．（多选题）（2024·高二·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，
所以，即，
对于A，，则，所以，所以A正确，
对于B，，则，所以，所以B错误，
对于C，，则，所以，所以C正确，
对于D，，则，所以，所以D错误，
故选：AC
2．（多选题）（2024·高一·浙江宁波·期末）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的周长为3
C．不可能是直角D．当时，的面积为
【答案】AD
【解析】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上，
由.
所以椭圆的离心率，故A正确；
根据椭圆的定义，的周长为，故B错误；
如图：
取为椭圆的上顶点，则,
所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误；
如图：
当时，设，，
则，
所以，故D正确.
故选：AD
3．（多选题）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．C的焦距为2B．C的短轴长为
C．C的离心率为D．的周长为8
【答案】ABD
【解析】由于，所以,
故，
因此，故，
所以椭圆，
对于A，焦距为，故A正确，
对于B，短轴长为，B正确，
对于C，离心率为，C错误，
对于D，的周长为，D正确，
故选：ABD
4．（多选题）（2024·高二·四川广元·阶段练习）已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为10B．面积的最大值为25
C．的最小值为1D．椭圆C的离心率为
【答案】AD
【解析】由题意可知：，
则，，
对于选项A：的周长为，故A正确；
对于选项B：当P为短轴顶点时，面积取到最大值为，故B错误；
对于选项C：PF1的最小值为，此时P为长轴顶点，
但本题取不到长轴顶点，故没有最小值，故C错误；
对于选项D：椭圆C的离心率为，故D正确；
故选：AD.
题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值
5．（2024·高二·辽宁·期中）已知是椭圆上一点，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设,
所以,
由于，故当，取最小值，
故答案为：
6．（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
【解析】设椭圆上一点，
所以，点到直线的距离为
，
当时，取最小值，即；
当时，取最大值，即.
故答案为：；.
7．（2024·高二·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 ．
【答案】12
【解析】由椭圆，得，，．
方法一：
当轴时，为椭圆的短轴，；
当与轴不垂直时，设直线，
由，得，解得，得，
设，不妨取，
所以；
综上所述：的面积的最大值为12．
方法二：设点，则，
故的面积.
故答案为：12.
8．（2024·高二·上海浦东新·期末）以为焦点的椭圆x2a2+y23=1a>0上有一动点M，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】因为为椭圆x2a2+y23=1a>0的焦点，
所以，，
所以由a2-b2=c2⇒a2=c2+b2=12+32=4，
所以椭圆的标准方程为：，
如图所示：
因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，
故当处于右顶点时最大，
且最大值为MF1=a+c=2+1=3，
故答案为：3.
题型三：求离心率的值
9．（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ．
【答案】55/155
【解析】令椭圆：（）的半焦距为，
设，则，由点在轴上，
，得，
而，，因此，
即，解得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，而，
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
10．（2024·高三·广东惠州·阶段练习）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意知，，，
所以，解得；
又，所以，
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
11．（2024·高二·全国·课后作业）体外碎石技术在医学上一般用来治疗肾结石，其治疗原理为电极放电产生冲击波，经椭圆形反射体反射聚焦（将某个焦点发出的冲击波全部反射到另一个焦点处），能量积累增强到一定值时达到结石粉碎的目的．若椭圆的方程为，冲击波从椭圆的左焦点出发，经过反射后首次回到该焦点所经过的路程为，则的离心率为 ．
【答案】或或
【解析】情况1：冲击波沿着轴向左出发经反射回到点，此时，即；
情况2：冲击波沿着轴向右出发经反射回到点，此时，即；
情况3：冲击波以与轴成夹角不为0的角度出发经反射回到点，此时，即．
故答案为：或或
题型四：求离心率的范围
12．（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题得：，所以
故选：A．
13．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即，
所以点P落在以为直径的圆上，所以有解，
即有解，所以.
即，所以，所以，
又椭圆的离心率，所以.
故选：D
14．（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，当点落在上顶点时，恰好有6个直角三角形，此时，，当椭圆变扁时，椭圆越扁，离心率越大，，此时为直角三角形点P有8个，
故选：C
15．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，
因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，
∴10上的点到其焦点的距离的最大值为10，最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为-3,2，求直线的方程.
【解析】（1）由题意可知，则.
因为，
所以椭圆的方程为.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，则
两式相减得，
整理可得.
因为线段的中点坐标为-3,2，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
直线和轴的交点为，
该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件.
28．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．
【答案】3
【解析】设坐标为，则，
作差可得，则，
根据题意可得，，则，解得.
当时，联立，可得，
其，满足题意；故.
故答案为：.
29．（2024·高二·重庆江北·阶段练习）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】由于，所以点在椭圆内部，
设，，由已知，，
，两式相减得，
∴．
故答案为：
30．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程．
【解析】（1）由的最大值为3，最小值为得，则，
可得，
所以椭圆方程为
（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内，
设,，,，
所以，，
两式作差，得，
由于是的中点，故，
所以，
所以，所以，
所以中点弦的方程为，
所求的直线方程．
题型九：椭圆的实际应用
31．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
32．（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米.
【答案】
【解析】设椭圆长轴长为，焦距为，月球半径为，则，
两式作差，可得，椭圆形轨道的焦距为千米.
故答案为：85.
33．（2024·高二·湖北武汉·期末）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 ．
【答案】32/1.5
【解析】，，离心率，故，，
不妨设椭圆方程为：，
设圆半径为，椭圆与圆相切于左顶点或者右顶点时有最大值，
圆方程为：，联立方程：，
消去得到，，
解得.
故答案为：.
34．（2024·高二·江苏常州·期末）某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为 米.
【答案】
【解析】由题意可知，即，
所以椭圆方程为，
则椭圆的参数方程为，
所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为（），
根据对称性可知矩形的长为，宽为，
所以矩形的面积为，当且仅当时，面积取得最大值，
所以此时，矩形的周长为
，
故答案为：
题型十：定点定值问题
35．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0
直线，分别为，，
联立得，
由得，则或，
同理，则，
所以k的取值范围为．
（2）设，，由（1）得，
所以，则，
所以，则，
同理，
则直线的方程为，
化简整理得
因此直线经过一个定点．
36．（2024·黑龙江大庆·一模）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
【解析】（1）由得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，
由得，
所以，.
因为，
所以，
即，整理得
化简得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
37．（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
【解析】（1）∵抛物线的焦点为，
∴椭圆的半焦距为，
又，得，.
∴椭圆的方程为
（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立，得.
，即，
设，，
则，，
∴，
∴.
∴为定值
38．（2024·高二·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
【解析】（1）由题意可知：，又，解得，
所以椭圆方程为
（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，
直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程：，
设，
则，
，
将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.
【重难点集训】
1．（2024·高二·江苏南京·阶段练习）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，
则切线，即，切线的斜率，
直线的斜率，则，所以.
故选：C
2．（2024·高二·重庆渝中·阶段练习）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆与轴相切于焦点，轴，可设，
在椭圆上，，解得：，圆的半径为；
作轴，垂足为，
，，
为直角三角形，，，
，即，又，所以，
故选：D.
3．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，在椭圆上，
且，当时，由，
得，
设线段PQ的中点为，所以，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为，
即，该直线恒过定点
当时，线段PQ的垂直平分线也过定点，
故线段PQ的垂直平分线恒过定点
故选：A．
4．（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设平行且距离为的直线方程为，
所以，解得或（结合图象舍去）
设直线与平行且它们之间的距离为，则的方程为，
由整理，得，
因为上的点到直线的最短距离不小于，
所以与椭圆相切或没有交点，
所以，整理得，
由椭圆的离心率为，可知，所以，
所以，则，所以.
故选：C.
5．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，
所以，因为在椭圆上，
所以①，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以.
故选：B.
6．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D．内切圆的面积为
【答案】D
【解析】对A，根据椭圆定义可得，则①，
在中，由余弦定理②，
由①②可得，所以的面积为，故A错误；
对B，设，则，，
，
则当时，取得最大值为5，故B错误；
对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误；
对D，设内切圆的半径为，因为的面积为，
所以，即，解得，
所以内切圆的面积为，故D正确.
故选：D.
7．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为
D．点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（即没有交点）
【答案】D
【解析】设Px,y，因为动点到点的距离是点到直线的距离的一半，
所以，整理得，A说法正确；
联立可得，解得，
所以存在点，直线是“最远距离直线”， B说法正确；
过作垂直于直线，垂足为，
由题意得，则，
由图可知的最小值即为点到直线的距离，C说法正确；
由得，圆圆心为1,0，半径为，
易得点的轨迹与圆交于点2,0，D说法错误；
故选：D
8．（2024·高二·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接,则易得，，
在中，，则,又，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，，
解得或（舍去），则.
故选:B.
9．（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）2024年3月，某科技公司启用具备“超椭圆”数学之美的新lg．设计师的灵感来源于曲线C：．其中星形线E：常用于超轻材料的设计．则下列关于星形线说法错误的是（ ）
A．E关于y轴对称B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C．曲线E所围成图形的面积小于2D．E上的点到原点距离的最小值为
【答案】D
【解析】对于A，若在星形线E上，则也在E上，故E关于轴对称，A正确；
对于B，由，则，当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，曲线E过点，在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，故曲线E所围成的面积小于2，C选项正确；
对于D，由，当且仅当时等号成立，故上的点到原点的距离最小值为，故D选项错误.
故选：D
10．（多选题）（2024·高二·江西抚州·阶段练习）已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．椭圆离心率为
B．
C．若，则的面积为
D．最大值为
【答案】BC
【解析】由椭圆方程可知，，，，
所以椭圆的离心率，故A错误；
由椭圆定义知，故B正确；
又，因为，所以，
，
解得：，所以的面积为，故C正确；
因为，，所以
，
当且仅当，即，时取等号.
所以最大值为，故D错误.
故选：BC.
11．（多选题）（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ）
A．B．离心率为
C．的面积为6D．的面积为12
【答案】ABC
【解析】由，得，则，
因为是椭圆上一点，所以，
因为，所以，，故A正确；
对于B，离心率为，故B正确；
对于CD，因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误．
故选：ABC
12．（多选题）（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的面积为
B．的离心率为
C．点到轴的距离为
D．
【答案】ACD
【解析】如图，设，，延长交于点.
由题意知，为的中点，则为的中点，
又，所以是等边三角形，
则化简得即
在中，由余弦定理得，
所以，即.
因为，所以，，所以，，故B错误.
的面积为，故A正确.
设点到轴的距离为，所以，则，故C正确.
因为是的平分线，所以，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD
13．（2024·高三·云南德宏·阶段练习）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
【答案】
【解析】因为,
所以,
所以椭圆方程为,
设,椭圆的上、下顶点,
所以且，
所以，
所以
即得.
故答案为：.
14．（2024·高二·江苏镇江·期中）已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】直线恒过定点0,1，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则0,1在椭圆内部或在椭圆上，
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．
实数的取值范围是：．
故答案为：．
15．（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知：直线的斜率，
设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为，
可得，且，，
因为点在上，则，两式相减得，
整理可得，可得，即，
则，
联立方程，解得，即，
因为点在椭圆内，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
16．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点.
(1)若是线段的中点，求直线的方程；
(2)若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值.
【解析】（1）设，则有，
且，作差可得，
所以，
由点斜式得，，
整理得即为直线的方程.
（2）
不妨设的直线方程为，
联立，消去整理得，
由韦达定理得，
所以，
因为，
所以为定值.
17．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值.
【解析】（1）因为椭圆椭圆经过点2,0和点，，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）得，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，解得或，
则，
所以.
18．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱.返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”.如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与.
(1)写出图中“果圆”的方程；
(2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度.
【解析】（1）设上半椭圆的标准方程为，
因为椭圆的一个焦点为和短轴的两个顶点为与，
所以，
所以，
所以上半椭圆的标准方程为：.
由题意得，圆弧过点，和.
设圆弧所在圆的方程为，
则，解得，
所以圆弧的方程为：.
（2）由，解得，得，
由，解得，得，
所以.
19．（2024·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作新直线，
①求直线和直线的斜率之积；
②证明：新直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题可知，一定在椭圆上，其中一个在椭圆上，
当椭圆过点可得，
则椭圆的方程为；
当椭圆过点可得，方程组无解，
综上，椭圆的方程为；
（2）①由题可设,，当时，设,、,，显然，
联立，则，即，
因为为线段的中点，所以，
又，
所以，即直线和直线的斜率之积为；
②由①可得直线的斜率为，
又，所以直线的方程为，
即，
显然恒过定点,，
当时，直线即，此时为轴亦过点,；
综上所述，恒过定点,．
【高考真题】
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.
故选：A
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
3．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
6．（2024年上海市1月春考数学试题）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点的横坐标为2，求的长;
(2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围
(3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又，
所以.
（2）设，而，
则，由，得，
即，又，则，解得，，
所以的范围是.
（3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则，
又，于是，
则，同理，
由，得，
因此，即，则，
设直线，由消去得，
则，即，而，解得，，
由，得，所以.
7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【解析】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【解析】（1）设Fc,0，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，Ax1,y1，Bx2,y2，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
9．（2023年北京高考数学真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【解析】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.
11．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【解析】（1）如图，
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.