数学2.1 直线的倾斜角与斜率课后测评

这是一份数学2.1 直线的倾斜角与斜率课后测评，共24页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc177595092" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc177595092 \h 2
\l "_Tc177595093" 题型一：直线的倾斜角与斜率定义 PAGEREF _Tc177595093 \h 2
\l "_Tc177595094" 题型二：斜率与倾斜角的变化关系 PAGEREF _Tc177595094 \h 3
\l "_Tc177595095" 题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数 PAGEREF _Tc177595095 \h 4
\l "_Tc177595096" 题型四：直线与线段相交关系求斜率范围 PAGEREF _Tc177595096 \h 5
\l "_Tc177595097" 题型五：直线平行 PAGEREF _Tc177595097 \h 8
\l "_Tc177595098" 题型六：直线垂直 PAGEREF _Tc177595098 \h 9
\l "_Tc177595099" 题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用 PAGEREF _Tc177595099 \h 11
\l "_Tc177595100" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc177595100 \h 13
\l "_Tc177595101" 【高考真题】 PAGEREF _Tc177595101 \h 22
【题型归纳】
题型一：直线的倾斜角与斜率定义
1．（2024·高二·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得的倾斜角为，
所以的倾斜角为，即的斜率为.
故选：A
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
.
故选：B.
3．（2024·高二·山东日照·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，直线l的斜率为，
设直线l的倾斜角为，则，
解得，即直线l的倾斜角为.
故选：A
4．（2024·高二·湖北·期末）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：C.
题型二：斜率与倾斜角的变化关系
5．（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线的斜率为，
由于，设倾斜角为，
则，，
所以.
故选：B.
6．（2024·高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】因为斜率，且，其中时直线无斜率，
当时，得；
当时，得；
故选：C.
7．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递增，
又，，
故的取值范围是.
故选：C
8．（2024·高二·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是( )
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】作出正切函数在的图象如下图，
如图所示，当，即，
解得或，
即或，
故选：D.
题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数
9．（2024·高二·全国·课前预习）直线l上两点，则直线l的斜率为 .
【答案】1
【解析】由题意得直线l的斜率为.
故答案为：1.
10．（2024·高二·上海·单元测试）若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ．
【答案】
【解析】因为三点、、在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，
即，
∴.
故答案为：．
11．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）经过两点的直线的倾斜角为，则
【答案】32/
【解析】倾斜角为，斜率为，
所以，
解得.
故答案为：
12．（2024·高二·山东临沂·期中）已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ．
【答案】
【解析】由题意知，
该直线的斜率为，
解得.
故答案为：.
题型四：直线与线段相交关系求斜率范围
13．（多选题）（2024·高二·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】设，由题得,所以直线的倾斜角为.
由题得,所以直线的倾斜角为.
由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角.
故选：BC
14．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数，
则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示：
当时，即，当时，则，
表示曲线上的点与连线的斜率，令，
又，，
由图可得或，
即的取值范围为.
故答案为：
15．（2024·高二·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】
如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间，
即需使斜率满足,
因，，故.
故答案为：.
16．（2024·高二·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是
【答案】
【解析】因为，，，
所以，．
直线过点且与线段相交，如下图所示：
或，
直线的斜率的取值范围是：．
故答案为：．
题型五：直线平行
17．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线，若，则 ．
【答案】0
【解析】①当时，②当时，若，可得与重合，不合题意．故．
故答案为：.
18．（2024·高二·浙江丽水·期末）已知直线和，若，则 .
【答案】2
【解析】直线的斜率为，，
所以直线的斜率，即，
经检验，满足题意.
故答案为：2.
19．判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，．
因为，，，，所以．
（2）因为，，．
所以与不平行．
（3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以．
（4），因为，，
所以与重合．
20．（2024·高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
(1)经过点，，经过点，；
(2)的倾斜角为60°，经过点，．
【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，．
由题意知，．
因为，又，
所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，
所以．
（2）设两直线，的斜率分别为，．
由题意知，．
所以，所以或与重合．
题型六：直线垂直
21．（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【解析】（1）两直线的斜率，，由，则．
（2）两直线的斜率，，由，则．
（3）的斜率为0，的斜率不存在，．
22．（2024·高二·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线的斜率为，直线经过点，；
(2)直线经过点，，直线经过点，；
(3)直线的法向量为，直线的法向量为．
【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直．
（2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直．
（3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直．
23．（2024·高二·浙江·期中）已知直线：，：，若，则实数 ．
【答案】－3或0
【解析】当时，直线：，：，此时显然，符合题意；
当时，整理可得直线：，：，
由，则，解得.
故答案为：－3或0
24．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题得.
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
25．（2024·高二·重庆沙坪坝·期末）若直线与直线垂直，则 .
【答案】/0.5
【解析】直线：的斜率为，直线：与直线：垂直时，
，解之得，
故答案为：.
题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用
26．（2024·高二·全国·课后作业）直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ .
【答案】
【解析】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.
∴直线AB的斜率存在，且kAB＝.
∴＝＝－，
解得m＝4＋.
故答案为：4＋
27．（2024·高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
【解析】由题，，
所以kAC=2，，kBC=－3，
设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以，，，
得x=7，y=5，即
②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，
所以，，
得x=－1，y=9，即
③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐标为或或.
28．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明．
【解析】四边形是矩形．证明如下：
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，
所以，，所以，，
所以四边形是平行四边形．
又，
所以，所以四边形是矩形．
又，，
令，即，无解，
所以与不垂直，故四边形是矩形．
29．（2024·高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形?
【解析】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在．
当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去；
当B为直角时，，；
当C为直角时，，或（舍去）.
综上所述，存在正实数或，使为直角三角形.
【重难点集训】
1．（2024·高二·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于点满足关系式，且，
可知在线段上移动，且
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
2．（2024·高二·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（ ）
A．或B．或C．或D．0
【答案】C
【解析】表示点Mx1,y1与点所成直线的斜率k，
又Mx1,y1是在部分图象上的动点，
如图，当接近时，
当为0,1时，，则，只有C满足.
故选：C.
3．（2024·高二·湖北·阶段练习）直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】当时，有，故或，
当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合；
当时，的方程为，的方程为，符合；
综上，“”是“”的充要条件，
故选：B.
4．（2024·高二·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
故，
则，
故选：D.
5．（2024·高二·北京昌平·期末）已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线，，
所以当时，，即，即或，
所以“”能推出“”，“”不能推出“”，
所以“”是“”充分不必要条件，
故选：A.
6．（2024·高一·全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（ ）
A．B．－
C．D．－
【答案】C
【解析】直线的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率，
，
∴，
把代入得，
原式.
故选：C．
7．（2024·高二·云南曲靖·期末）经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，画出图像，如图所示：
根据图像知：.
故选：D.
8．（2024·高二·山东日照·阶段练习）直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
如图，直线与以点、为端点的线段恒相交时，直线从到，
直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为，
直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为，
综上，的斜率取值范围为，
故选：D
9．（多选题）（2024·高二·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若，，则直线的倾斜角为
D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
【答案】CD
【解析】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错；
C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对；
D：过，两点的斜率为：，对.
故选：CD.
10．（多选题）（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则（ ）
A．的最小值是1B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是4
【答案】BC
【解析】由直线，，且，得，即，又，
对于A，，即，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，，
当且仅当时取等号，因此的最小值是，B正确；
对于C，，当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，D错误.
故选：BC
11．（多选题）（2024·高二·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（ ）

A．B．C．1D．
【答案】AC
【解析】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中；
当是图一时，如图：
关于 的对称点为，关于的对称点为；
如图；根据直线的对称性可得：；
当是图2时，如图：
关于 的对称点为，关于的对称点为，
如图：根据直线的对称性可得：；
故选：AC．
12．（2024·高二·全国·期中）直线，，若，则 .
【答案】2
【解析】因为直线，，，
所以且两直线不重合，
解得或，
当时两直线重合，舍去，所以．
故答案为：2．
13．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ．
【答案】/30°
【解析】由直线l经过，两点，
则直线的斜率，
所以直线的斜率，
由，所以.
故答案为：
14．（2024·高二·贵州·开学考试）一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为 .
【答案】
【解析】
由斜率公式，射线的斜率为，
射线的斜率为，
如上图，由题意，一束光射向轴，经轴反射，与线段
始终相交，则射线即与关于对称，射线即
与关于对称，
∴，，
∴这束光所在直线的斜率取值范围为.
故答案为：.
15．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线：和直线：．若与平行，求a的值．
【解析】方法一 ： 当时，：，：，不平行于；
当时，：，：，不平行于；
当且时，两直线可化为：，：，
则当时，有，
解得，
综上可知，当时，．
方法二：对于两直线，
当它们平行时，有 ，
所以对于直线：和直线：，
当时，则，
则，
可得，故当时，．
16．（2024·高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为O0,0、、、，其中．试判断四边形的形状．
【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率，
直线的斜率，直线的斜率，
显然，，在四边形中，，，
因此四边形为平行四边形，又，则，
所以四边形为矩形.
17．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值；
（2）若直线与直线垂直，求的值.
【解析】（1）两直线平行，则，即，故或，
当时，两直线分别为与，符合要求，
当时，两直线分别为与，符合要求，
故或；
（2）两直线垂直，则，
即，故或.
18．（2024·高三·全国·专题练习）已知两点．
(1)是否存在整数，使直线与直线相交？
(2)是否存在整数，使直线与线段相交？
(3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？
【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率，
因为两条直线相交，则，即，故可以取外的所有整数．
（2）位于直线上的点，其坐标代入后，其值必为0．
位于直线同侧的点，其坐标代入后，其值必同号．
而位于直线两侧的点，其坐标代入后，其值必异号．
直线与线段相交，则点和或位于该直线的两侧，或其中一点在该直线上．
于是将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0，
即，解得．因此符合条件的整数可以是或1．
（3）由问题（2）的分析知，当位于直线的两侧，将点的坐标分别代入后，其值必异号，
则乘积必小于0，即，解得，因此符合条件的正整数不存在．
19．（2024·高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若是线段上一动点，求的取值范围.
【解析】（1）由斜率公式得直线的斜率为，
记倾斜角为，则，
因为，所以直线的倾斜角为.
（2）由题知为直线的斜率.
记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为，
由图可知，，
又，，
所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
【高考真题】
1．（1995年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图象可得，，
故选：C
2．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））“”是“直线和直线平行且不重合”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】当时，直线和直线平行且不重合，故充分；
当直线和直线平行且不重合时，
则，解得或-2，故不必要；
故选：A
3．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））“”是“直线与直线垂直”的
A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为直线与直线垂直，
则，即，解得或；
因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故选B
4．（2024年上海市1月春考数学试题）直线的倾斜角 .
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，
易知直线的斜率为，
所以，
解得.
故答案为：
5．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））若直线与直线平行，则 ．
【答案】
【解析】直线的斜率为3
直线的斜率即
故答案为：.
6．（2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））若三点，，，（）共线，则的值等于 .
【答案】/0.5
【解析】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知.
由得：，即，又，
∴.
故答案为：
7．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（上海））已知与，若两直线平行，则的值为
【答案】
【解析】两直线平行则斜率相等，所以，解得