高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后练习题，共30页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176383750" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc176383750 \h 2
\l "_Tc176383751" 题型一：空间向量的坐标表示 PAGEREF _Tc176383751 \h 2
\l "_Tc176383752" 题型二：空间向量的直角坐标运算 PAGEREF _Tc176383752 \h 3
\l "_Tc176383753" 题型三：空间向量的共线与共面 PAGEREF _Tc176383753 \h 3
\l "_Tc176383754" 题型四：空间向量模长坐标表示 PAGEREF _Tc176383754 \h 4
\l "_Tc176383755" 题型五：空间向量平行坐标表示 PAGEREF _Tc176383755 \h 7
\l "_Tc176383756" 题型六：空间向量垂直坐标表示 PAGEREF _Tc176383756 \h 8
\l "_Tc176383757" 题型七：空间向量夹角坐标表示 PAGEREF _Tc176383757 \h 11
\l "_Tc176383758" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc176383758 \h 14
\l "_Tc176383759" 【高考真题】 PAGEREF _Tc176383759 \h 26
【题型归纳】
题型一：空间向量的坐标表示
1．（2024·高二·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选：B
2．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）向量，，，中，共面的三个向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A：若共面，则，即，
即，显然不存在满足题意，故不共面；
同理，B，C中的三个向量也不共面；
D：若共面，则，即，
即，故存在满足题意，则共面.
故选：D.
3．（2024·高二·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以
故选：A
4．（2024·高二·天津西青·阶段练习）设点，，，若，则点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点B的坐标为，则，
∵，∴，解得，
故选：C．
题型二：空间向量的直角坐标运算
5．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
6．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为 ．
【答案】
【解析】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以．
故答案为: .
题型三：空间向量的共线与共面
7．（2024·高二·浙江丽水·期末）向量，，若与共线，则 , ．
【答案】 . 3.
【解析】分析：利用向量共线定理即可得出．
与共线，
∴存在实数使得：
， ，
故答案为 ，.
8．（2024·高二·山东济宁·期末）若空间三点共线,则= ;=
【答案】 3 2
【解析】由题意得; ,
依题意可得，则，解得,
故答案为：3；2
9．（2024·高二·北京丰台·期末）已知向量，，若与共线，则 .
【答案】
【解析】向量，，若与共线，
则有，解得.
故答案为：
10．（2024·高二·广东·期末）已知向量与共线，则 .
【答案】15
【解析】由，得，解得.
故答案为：15
11．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点A､B､C､D的坐标分别为，且A，B，C，D四点共面，则 .
【答案】3
【解析】由题意，A，B，C，D四点共面
故，使得
又
故
解得
故答案为：3
题型四：空间向量模长坐标表示
12．（2024·高二·广东佛山·期末）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、，
，，
由题意可知，，
所以，.
故选：C.
13．（2024·高二·全国·课后作业）已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（ ）．
A．3B．4
C．5D．6
【答案】C
【解析】设，
则，
，
因为，
所以，即，
解得，
所以，
所以，
故选：C
14．（2024·高二·福建泉州·期末）若，，，，，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【解析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到，推出，配方整理，即可求出最小值.因为，，，，，
所以，则，即，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，则的最小值为.
故选：C.
15．（2024·高二·全国·课后作业）若，且与的夹角的余弦值为，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
因为与的夹角的余弦值为，
所以==，解得，
∴=，
故选：C．
题型五：空间向量平行坐标表示
16．（2024·高二·全国·课后作业）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为（ ）
A．1B．3
C．1或3D．以上答案都不正确
【答案】C
【解析】由题意知.
因为，，
所以的充要条件是，
所以，
显然符合题意，
当时，由，得，
代入，得.
综上，的值为1或3.
故选：C
17．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（ ）
A．-3B．-4C．3D．4
【答案】C
【解析】由，可得，
所以，解得，
所以.
故选：C.
18．（2024·高二·河南平顶山·阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以D不正确．
故选：B．
19．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知，若，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由，得，又，且，
则，所以.
故选：B
题型六：空间向量垂直坐标表示
20．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由向量，，
可得，
结合，，即，
得，结合，解得，则.
故选：A
21．（2024·高二·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，
设，由，得，
所以，，，
所有，，
因为，，
所以，得.
故选：C.
22．（2024·高二·陕西铜川·阶段练习）已知，，空间向量与垂直，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，
而，，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值.
故选：D.
23．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）向量，若，且，则的值为（ ）
A．或1B．1C．3或D．3或1
【答案】A
【解析】由，则，可得，
又，则，可得，
当，则；当，则；
所以的值为或1.
故选：A
24．（2024·高二·陕西渭南·期末）若点，，，，且，则（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【解析】，
因为，所以，解得，
所以，
所以，
故选：C
题型七：空间向量夹角坐标表示
25．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知，，则最大值为 .
【答案】
【解析】由题意可得：，
当时，则，
因为，则，当且仅当，即时等号成立，
所以；
当时，；
综上所述：的最大值为，
故答案为：.
26．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设，
则，
所以，
既然求最大值，必有，令，
则
，
当，即时取等号，所以的最大值为.
故答案为：.
27．（2024·高二·吉林·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，由，得
则向量的一个坐标为：.（答案不唯一，坐标满足即可）
故答案为：.（答案不唯一）
28．（2024·高二·安徽宿州·期中）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线夹角为 ．
【答案】/
【解析】由题意空间直线：的方向向量为，
直线是两个平面与的交线，
所以直线上的点满足，不妨设，则，
所以，
所以直线的方程为，
从而直线：的方向向量为，
设直线夹角为，所以，
所以.
故答案为：.
29．（2024·高二·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 .
【答案】 /0.5
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
在的投影向量为.
故答案为：12；.
30．（2024·高二·上海奉贤·期中）如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为 ．

【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则；
，，
因为，所以，，
设，则，
即，解得，所以，
则，，
，
与是异面直线，显然不是平角，
则为钝角，有，解得．
所以的取值范围为．
故答案为：.
【重难点集训】
1．（2024·高二·山东烟台·期末）已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
因为与垂直，
所以，
解得，
所以，
所以，
故选：B.
2．（2024·高二·湖南常德·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，解得
当共线时，由，即解得，
所以当夹角为钝角时，
故选：B
3．（2024·高二·福建三明·阶段练习）如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，长方体中，，，，
可得，
因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为.
故选：A.
4．（2024·高二·河北张家口·开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
则
故向量在向量上的投影向量是
故选：C.
5．（2024·高二·全国·随堂练习）已知分别是空间直角坐标系中轴、轴、轴的正方向上的单位向量，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【解析】因为且是坐标原点，
所以由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点的坐标是.
故选：A.
6．（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线．
设，，，
和分别是点，在平面上的投影．
可得，，，
则
，
因为，
当且仅当点C为的中点时，等号成立，
可得，
所以，当，，且时等号成立．
故选：B
7．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为（ ）
A．32B．64C．48D．
【答案】B
【解析】，
又因为，两点不在同一表面上，
所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.
设正方体的边长为a，则，即，所以正方体的体积为64.
故选：B
8．（2024·高二·全国·课后作业）点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知可设点，
当与平面内的直线垂直时，最小，，
因为点在平面内的直线上，所以位该直线的一个方向向量，
当最小时，，
即，
此时
所以当时，取最小值，此时点.
故选：C．
9．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知向量，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于A，，故，故A错误；
对于B，，
，故B正确；
对于C，，故，故C错误；
对于D，，故，故D正确.
故选：BD
10．（多选题）（2024·高一·吉林通化·期末）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为D．的最大值为4
【答案】AC
【解析】对于A，若，且，
则存在唯一实数使得，即，
则，解得，故A正确；
对于B，若，则，即，
化简得，因为，所以无实数解，故B错误；
对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.
故选：AC.
11．（多选题）（2024·高二·福建龙岩·期中）如图，正方体的棱长等于2，K为正方形的中心，M，N分别为棱，的中点.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】ACD
【解析】以点E为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，.
A：，，，
，A正确.
B：，B错误.
C：，C正确.
D：因为，则，所以，
，，
所以的面积，D正确.
故选：ACD.
12．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）已知，，点在轴上，且，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】设点P的坐标为，
依题意得，解得，
所以点P的坐标为.
故答案为：
13．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为 .

【答案】
【解析】过点作,垂足于点，如图所示：
因为，，所以.
又，.
因为，，
所以，
则的长为.
故答案为：.
14．（2024·高三·北京海淀·开学考试）在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论：
①线段长度的最大值为；
②存在点，使得；
③存在点，使得；
④是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】如图，建立空间直角坐标系，
则，
对①，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为，
此时，，
所以，即满足，故①正确；
对②，取正方形的中心M，连接，易知，
所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，，
此时，，，即不满足，
综上不存在点，使得，故②错误；
对③，设，则，，若存在，
由，可得方程组，
化简可得，解得 ，
显然当时满足题意，
即存在点，使得，故③正确；
对④，设，若，
则，化简可得，
由③知时可得，所以不妨取，
此时在正方体表面上，满足题意，故④正确.
故答案为：①③④
15．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．

(1)设，，，用，，表示向量；
(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
【解析】（1）依题意，，，，，，
．
（2）依题意，点，
，，，
．
16．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知空间三点，，．
(1)求的面积；
(2)若向量，且，求向量的坐标．
【解析】（1）设向量的夹角为，
由空间三点，，，可得，，
，，
可得，
因为，所以，
所以三角形的面积为．
（2）因为，所以，其中，
因为，可得，即，
所以，
即或．
17．（2024·高二·全国·课堂例题）已知点，，如图，以的方向为正向，在直线上建立一条数轴，，为轴上的两点，且分别满足条件：（1）；（2）．求点和点的坐标．

【解析】（1）由已知，得，
即，．
设点坐标为，则上式用坐标表示，
得，
即，，．
因此，点的坐标是．
（2）因为，
所以，
即，．
设点的坐标为，则上式用坐标表示，
得，
即，，．
因此，点的坐标是．
18．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
【解析】假设存在实数，使四点共面．
由正三棱柱的性质可知为正三角形，取的中点，连接，则．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，
在平面内，以过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，．
因为，
所以．
若四点共面，则存在满足，
又，所以，解得，
故存在实数，使四点共面．
19．（2024·高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.

(1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标；
(2)在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.
【解析】（1）因为，所以，又，设，
则，解得，所以点P的坐标为，
故点P关于y轴的对称点的坐标为.
（2）由得，
故设线段上一点M的坐标为，，
则有，
当时，最小，所以点M的坐标为.
【高考真题】
1．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
2．（2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷））如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
【答案】
【解析】 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.
3．（2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科））若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ．
【答案】
【解析】
，解得
故答案为：
4．（2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏卷））已知向量，且，则 ．
【答案】3
【解析】因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
5．（2000年普通高等学校招生考试数学（文）试题（新课程卷））如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系：
，
则，
所以，
则；
（2）由（1）知，
所以，
则，
所以；
（3）由（1）知，
所以，
则，
所以．
6．（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷））记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
【解析】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则.
由，得，
而；
又.
由，
化简得，解得.