高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算当堂达标检测题，共32页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc170916274" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc170916274 \h 1
\l "_Tc170916275" 题型一：空间向量的有关概念 PAGEREF _Tc170916275 \h 1
\l "_Tc170916276" 题型二：空间向量的加减运算 PAGEREF _Tc170916276 \h 3
\l "_Tc170916277" 题型三：空间向量的数乘运算 PAGEREF _Tc170916277 \h 5
\l "_Tc170916278" 题型四：共线向量定理的应用 PAGEREF _Tc170916278 \h 6
\l "_Tc170916279" 题型五：共面向量及应用 PAGEREF _Tc170916279 \h 8
\l "_Tc170916280" 题型六：空间向量的数量积 PAGEREF _Tc170916280 \h 11
\l "_Tc170916281" 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 PAGEREF _Tc170916281 \h 13
\l "_Tc170916282" 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 PAGEREF _Tc170916282 \h 16
\l "_Tc170916283" 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 PAGEREF _Tc170916283 \h 19
\l "_Tc170916284" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc170916284 \h 21
\l "_Tc170916285" 【高考真题】 PAGEREF _Tc170916285 \h 31
【题型归纳】
题型一：空间向量的有关概念
1．（2024·高二·全国·课后作业）在平行六面体中，与向量相等的向量共有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】C
【解析】由图，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个.
故选：C
2．（2024·高二·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D.
3．（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④若空间向量满足，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【答案】D
【解析】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
4．（2024·高二·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】C
【解析】由已知，
选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；
选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；
选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；
选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.
故选：C.
题型二：空间向量的加减运算
5．（2024·高二·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A
6．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ）
①与是一对相反向量；
②与是一对相反向量；
③与是一对相反向量；
④与是一对相反向量．
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】
对于①，，，，
与是一对相反向量，①正确；
对于②，，，又，
与不是相反向量，②错误；
对于③，，，，，
,
与是一对相反向量，③正确；
对于④，，，又，
与是一对相反向量，④正确.
故选：C.
7．（2024·高二·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则，
所以.
故选：C
8．（2024·高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式：

(1)；
(2)．
【解析】（1）因为，，
所以．
（2）因为，所以
．
题型三：空间向量的数乘运算
9．（2024·高二·全国·课后作业）在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.
(1)；
(2).
【解析】（1）根据空间向量的运算法则，可得

.
（2）分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有
根据空间向量的运算法则，可得.
10．（2024·高二·全国·课堂例题）化简：．
【解析】原式．
11．（2024·高二·全国·随堂练习）化简：．
【解析】
.
12．（2024·高二·全国·阶段练习）化简下列算式：
(1)；
(2).
【解析】（1）.
（2）.
题型四：共线向量定理的应用
13．（2024·高二·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由，，
得，
因为A，C，D三点共线，所以，
则存在唯一实数，使得，
则，解得.
故选：C.
14．（2024·高二·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（ ）
A．当时，点在棱上
B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上
D．当时，点在线段上
【答案】B
【解析】对于，当时，，，
所以，则点在棱上，故正确；
对于，当时， ， ，
即，即
所以点在线段上，故错误；
对于，当时，，，
所以，所以，即，
所以点在棱上，故正确；
对于，当时，
所以，，
所以，
即，即，
所以点在线段上，故正确．
故选：．
15．（2024·高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线B．共线
C．共面D．不共面
【答案】C
【解析】若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.
故选：C
16．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线B．与共线
C．，，，四点不共面D．，，，四点共面
【答案】D
【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；
对于B，，，，
又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；
对于C、D，若，，，四点共面，
则有，
，即，故，
故，，，四点共面，C错误，D正确.
故选：D.
题型五：共面向量及应用
17．（2024·高二·全国·课后作业）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】因为为空间任意一点，，
所以，
所以，
因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，
所以，解得．
故选：C．
18．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.
故选:C．
19．（2024·高二·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【解析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
20．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．
【解析】设，则，
为的中点，，
又，，
，
为共面向量，
又三向量有相同的起点，四点共面．
题型六：空间向量的数量积
21．（2024·高二·贵州·期中）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
【解析】（1）由向量的线性运算法则，可得：
．
（2）由向量的数量积的运算法则，可得：
．
22．（2024·高二·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.

(1)试用表示向量;
(2)求.
【解析】（1）因为点在棱的延长线上,且,
所以,
则.
（2）由题意得,
则,
所以.
23．（2024·高二·江西赣州·期中）在平行六面体中，，，E为线段上更靠近的三等分点
(1)用向量，，表示向量；
(2)求；
(3)求.
【解析】（1）如图，
.
（2）
,
.
（3）
.
24．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ．
【答案】-1
【解析】设圆锥底面圆的圆心O，则，
则圆锥的高，
，
当垂直于过P点的母线时，长最小，即为，
故的最小值为，
故答案为：-1
题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
25．（2024·高二·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点.
(1)用向量表示；
(2)求线段的长及向量与的夹角.
【解析】（1）因为为与的交点，所以，
又因为，
所以.
（2）因为
，所以，
因为，所以
.
所以，即两向量的夹角为.
26．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 .
【答案】/
【解析】因为异面直线与成角，则与夹角为或，
又，.
两边平方，得，
即，
或，
（或舍去）.
即与夹角为，所以异面直线与所成角为.
故答案为：.
27．（2024·高二·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且.

(1)求的长；
(2)求直线与所成角的余弦值.
【解析】（1）由图，可得.
则
（2）注意到，
则
，，.
.
则与所成角的余弦值为.
题型八：利用空间向量的数量积证垂直
28．如图，正方体
（1）求和的夹角；
（2）求证．
【解析】（1）联结，，则，和的夹角即和的夹角，
在正方体中，设棱长为a，则，
则是等边三角形，即
故和的夹角为
（2）联结，则，
又平面，平面，
则，又
故平面，又平面，
所以
29．已知四面体OABC，，．求证：．
【解析】
因为,
所以,
因为，，
所以，
所以，即.
30．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．
【解析】∵，
∴，，，平面，
∴．
由题意可知，平面，
∴，，，
∴，
∴．
同理可证，．
∴是的垂心．
31．（山西省太原市2023-2024学年高二期中质量监测数学试题 ）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.
(1)用向量表示向量；
(2)求证.
【解析】（1）根据题意，
.
（2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1）
，
所以.
32．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
【解析】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，
由题意可得，，
所以，，所以，，
同理可证，
因为，因此，平面.
题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度
33．（2024·高二·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 .
【答案】3
【解析】由题意知，所以
，
即，
解得，即.
故答案为：3.
34．（2024·高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得：
，
故.
故答案为：.
35．（2024·高二·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心．
(1)证明：；
(2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
【解析】（1）证明：因为G是的重心，所以，
则，
即.
（2）由（1）得，
所以，
，即．
36．（2024·高二·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．

(1)求；
(2)求的长．
【解析】（1）.
（2）因为，
所以
，
所以的长为.
37．（2024·高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足.
(1)用向量表示；
(2)求.
【解析】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足.
所以；
（2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，
所以，，
所以，
所以
，所以.
【重难点集训】
1．（山东省日照市2024届高三校际联考（二模）数学试题）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】取中点，可知在球面上，可得，
所以，
点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，，
所以的最大值为.
故选：B.
2．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是，
所以，，
即的值只有一个．
故选：A.
3．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（五））已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，
显然，
由题意可知，
所以的取值范围为.
故选：A
4．（江苏省南通市2023-2024学年高二期末数学考试）已知平行六面体中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，
故，
所以.
故选：B.
5．（2024南通名师高考原创卷（六））在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，因为，所以，
因为平面平面，设平面平面，平面平面，所以，
又因为，所以
过点作，可得，
则为的中点，为的四等分点，
又因为，所以为的四等分点，所以.
故选：C．
6．（贵州省六盘水市2023-2024学年高三第二次联考数学试题）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为三点共线，所以，
即，故，解得，
所以.
故选：C
7．（山西省朔州市应县第一中学校2023-2024学年高二期末数学试题）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）

A．与B．与
C．与D．与
【答案】A
【解析】由于平面，平面，
所以，则与垂直，D选项错误.
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，所以与垂直，C选项错误.
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以与垂直，B选项错误.
由于与不一定垂直，是在平面内的射影，
所以与不一定垂直，即与的数量积不一定为，A选项正确.
故选：A
8．（江苏省淮安市2024届高三第一次调研测试数学试题）在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】B
【解析】因为，，
所以
，
又，所以，
即，
即，
所以，
所以.
故选：B
9．（多选题）（山西省长治市2023-2024学年高二3月质量检测数学试题）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ）

A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为线段
C．存在，使得
D．存在，使得平面
【答案】ABC
【解析】对于A：由，得点在侧面内（含边界），
若，则，故点的轨迹为线段，故A正确；
对于B：若，则，所以，即，
又，故点的轨迹为线段，故B正确；
对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面，
当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确；
对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在，
使得平面，故D错误.
故选：ABC.
10．（多选题）（重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（三）数学试题）在平行六面体中，已知，，若，，，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AC
【解析】
如图：，，，，
则由题意，同理，，
所以，
又，，，
所以，
得，当且仅当即时等号成立，故A正确，
又，故，
，
故，当且仅当时等号成立，故C正确，
因，，最后等号成立条件为，
所以，故B错误，
，
所以，得，当且仅当时等号成立，故D错误，
故选：AC
11．（多选题）（福建省宁德市博雅培文学校2024届高三高考前最后一卷数学试题）已知空间单位向量，，两两夹角均为，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．、、、四点可以共面
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由于单位向量，，两两夹角均为，
所以，
假设、、、四点可以共面，则共面，
所以存在，使得，分别用，，与点乘，
则，由于该方程组无解，所以不存在，使得共面，
故、、、四点不共面，故A错误，
对于B，,故B正确，
对于C，由得，
由得,
所以,则
,故C正确；
对于D，，
故，故D错误，
故选：BC.
12．（上海市七宝中学2024届高三三模考试数学试题）已知点C在以AB为直径的球面上，若，则 ．
【答案】
【解析】由点C在以AB为直径的球面上，得，
所以.
故答案为：
13．（贵州省2024届高三4月新高考“大数据赋分”诊断性联合考试数学试题）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ．
【答案】
【解析】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积，
因为
，
因为点在正方体表面上运动，
所以，故范围为
故答案为：，．
14．（广东省博罗县2023-2024学年高二期中数学试题）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.

【答案】
【解析】由题意，
在三棱锥中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量为：
，
故答案为：.
15．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 .
【答案】
【解析】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，，
由面，面，则面，
同理可证面，，面，
所以面面，
所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又，
所以点在侧面，故的轨迹为线段，
因为，，所以.
故答案为：
【高考真题】
1．（2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为在平行六面体中，，
所以.
故选：A.