【备战2025年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题16 三角形及其全等（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. （2024福建省）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解．
∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
2. （2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．
如图所示，
由题意得，，，
∴，
故选：B．
3. （2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
4. （2024云南省）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解．
如图，
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故选：C．
5. （2024安徽省）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．
利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．
【详解】解：A、连接，

∵，，，
∴，
∴
又∵点F为的中点
∴，故不符合题意；
B、连接，

∵，，，
∴，
∴，
又∵点F为的中点，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合题意；
C、连接，

∵点F为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴， ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故不符合题意；
D、，无法得出题干结论，符合题意；
故选：D．
6. （2024四川广安）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选D
二、填空题
1. （2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是________度．
【答案】
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．
【详解】因为其底角为40°，所以其顶角．
故答案为：100．
2. （2024重庆市B）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________．
【答案】2
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出．
【详解】∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴,
故答案为：2．
3. （2024四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．
【答案】##100度
【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
4. （2024四川内江）如图，在中，，，，则的度数为________；

【答案】##100度
【解析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．
根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答．
【详解】∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
5. （2024黑龙江绥化）如图，，，．则______．
【答案】66
【解析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
6. （2024四川成都市）如图，，若，，则的度数为______．
【答案】##100度
【解析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可．
【详解】由，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
三、解答题
1. （2024云南省）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
．
2. （2024四川乐山）知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【解析】利用证明，即可证明．
平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键．
3. （2024江苏连云港）如图，与相交于点，，．
（1）求证：；
（2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明；
（2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可．
【小问1详解】
证明：，
，．
在和中，，
；
【小问2详解】
解：是的垂直平分线，
，
由（1）的结论可知，,
又∵,
则,
∴
，
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
如图所示，菱形为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键．
4. （2024江苏苏州） 如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）直接利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：由作图知：．
在和中，
．
【小问2详解】
解：，，
．
又，
，．
，
，
．
5. （2024江苏盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．
若________，则．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【解析】【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【详解】解：选择①；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
选择②；
无法证明，
无法得出；
选择③；
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，即；
故答案为：①或③（答案不唯一）
6. （2024四川南充）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
【小问1详解】
证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
【小问2详解】
证明：
垂直平分，
．
7. （2024四川自贡）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，平分，请直接写出的形状．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰直角三角形．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定．
（1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明；
（2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
8. （2024四川宜宾）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
【答案】见解析
【解析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明∶∵是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
∴．
9. （2024四川内江）如图，点、、、在同一条直线上，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.
（1）先证明，再结合已知条件可得结论；
（2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论.
【小问1详解】
证明：∵
∴，即
∵，
∴
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴