辽宁省七校协作体2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省七校协作体2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则“”是“”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．若关于x的不等式的解集为,则的值是( )
A.B.C.D.2
4．已知幂函数的图象不过原点,且关于y轴对称,则( )
A.或B.C.D.
5．函数是增函数,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育､继续教育､大病医疗､住房贷款利息或者住房租金､赡养老人等六项专项附加扣除.某单位6名员工（分别记为A,B,C,D,E,F）的专项附加扣除的享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访,则抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知,且,则的最小值为( )
A.7B.8C.9D.10
8．已知定义在R上的函数为偶函数,且在区间上是增函数,记,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若a,b,c,,则下列命题正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,,则
10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则( )
A.
B.B与C互斥
C.A与B相互独立
D.A与D互为对立
11．设函数,若关于x的方程有四个实根,,,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.的最小值为16
三、填空题
12．已知实数m，n满足，则_________.
13．某市11月前10天的空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125,111,53,则这组数据的第75百分位数是________.
14．已知函数,当时恒成立,则a的最小值为________.
四、解答题
15．甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜,约定有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率;
（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
16．已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a、b的值;
（2）判断的单调性并证明;
（3）若存在,使成立,求实数k的取值范围.
17．为了估计一批产品的质量状况,现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分）,并制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值,并求综合评分的平均数;
（2）已知落在的平均综合评分是54,方差是3,落在的平均综合评分为63,方差是3,求落在的总平均综合评分和总方差.
18．已知.
(1)求的解析式；
(2)函数，若对任意，总存在，使成立，求a的取值.
19．已知为正整数,集合,对于中任意两个元素和定义:;.
（1）当时,设,,写出,并计算;
（2）若集合S满足,且,,,求集合S中元素个数的最大值,写出此时的集合S,不用证明;
（3）若,,任取,证明:.
参考答案
1．答案：B
解析：因为集合,
,
所以,
故选:B
2．答案：B
解析：由得或,因此由,则,
但是由,则或,不能推出,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:B.
3．答案：C
解析：由题不等式的解集为,
所以是方程的两不等实数根,
所以,得,,
所以.
故选:C.
4．答案：D
解析：因为函数是幂函数,
所以,即,
解得或,
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意;
故选:D
5．答案：C
解析：由题意得,,
解得.
故选：C.
6．答案：B
解析：从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为:,,,,,,,,,,,,,,,共15种.
由表格知,符合题意的所有可能结果为:,,,,,,,,,,共10种,
故所求概率为.
故选:B.
7．答案：C
解析：因为,则,,且,
所以,
,
当且仅当时,即当时,即当时,等号成立,
因此,的最小值为9.
故选:C.
8．答案：A
解析：因为函数为偶函数,且在区间上是增函数,
所以,,
且在区间上是减函数,
又,,,
所以,
所以,
故选:A
9．答案：BC
解析：A.当时,,故错误;
B.因为,所以,故正确;
C.因为,所以,则,故正确;
D.当,,,时,,故错误;
故选:BC
10．答案：ACD
解析：设2个白球为，，2个黑球为，
则样本空间为：
共12个基本事件
事件，共4个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共6个基本事件；
事件，共8个基本事件，
对于A，由，故A正确；
对于B，因为，所以事件B与C不互斥，故B错误；
对于C，因为，，，
则，故事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，因为，，
所以事件A与D互为对立，故D正确
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：作出函数的图象,如图所示:
由图象知:,
由二次函数的对称性可得,
令或,
所以,,
因为方程有四个实根,所以,
又,则,
即,则,
所以,
所以,
,
当且仅当,即时,等号成立,
故选:ABD
12．答案：1
解析：，
所以，，
所以.
故答案为：1.
13．答案：86
解析：因为数据为35,53,54,58,72,80,85,86,111,125,
所以,
所以这组数据的第75百分位数是86,
故答案为:86
14．答案：
解析：设,,则,且在单调递增,
当时,;当时,;
因为当时恒成立,函数为上的连续函数,
所以有一个零点为1,且当时,;当时,,所以.
令,因为,所以有一个零点,且当时,;当时,,
所以,且,所以.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,分别表示甲、乙在第k次投篮时投中,
则,,,记“甲获胜”为事件C,则
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D.
则
16．答案：（1）
（2）函数在R上为减函数,证明见解析
（3）
解析：（1）因为函数是定义域为R的奇函数,则,解得,
所以,,
因为,,
由奇函数的定义可得,可得,解得,
故,则,下面验证函数为奇函数,
因为函数的定义域为R,
则,即函数为奇函数,
因此,满足题意.
（2）函数为R上的减函数,理由如下:
任取,,且,则,
所以,
,即,
故函数在R上为减函数.
（3）存在,使,
则,所以,,则,
由题意可得,因此,实数k的取值范围是.
17．答案：（1）,平均分为81
（2）总平均综合评分,总方差
解析：（1）由频率分布直方图可得:,
解得,
则综合评分的平均数为;
（2）由图可知落在和的频率之比为
所以,
.
18．答案：(1);
(2)
解析：(1)令，得到，
即，
所以；
(2)令，则，，，
所以，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，当时，，
的值域为，
当时，，令，
则可化为，，
因为，在单调递增，所以，
即当时，，
因为对任意，总存在，使成立，
所以的值域是值域的子集，
则，解得.
19．答案：（1）,
（2）2,或.
（3）证明见解析
解析：（1）由题意可得,;
（2）最大值是2.
此时或.
假设集合中还有第三个元素,不妨取,
则第三个元素必为中的一个,此时,不符题意,
即集合中元素个数的最大值为2.
（3）证明:设,,,
所以,,,,,
从而,
又,
当时,,
当时,,
所以.
员工项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
继续教育
大病医疗
住房贷款利息
住房租金
赡养老人