山东省百师联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省百师联考2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线,设甲：;乙：,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．直线与以点为圆心的圆相交于A,B两点,且,则圆C的方程为( )
A.B.
C.D.
3．与椭圆有相同焦点,且长轴长为的椭圆的方程是( )
A.B.
C.D.
4．下列说法中,正确的是( )
A.点关于平面对称的点的坐标是
B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
C.已知O为空间中任意一点,A、B、C、P四点共面,且,A、B、C、P中任意三点不共线,若,则
D.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线l与平面所成的角为
5．已知平面,的法向量分别为,,则平面,的夹角的大小为( )
A.B.C.D.
6．记为等差数列的前n项和,若,,则( )
A.240B.225C.120D.30
7．已知抛物线,直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,若弦的长为8,则直线l的方程为( )
A.或B.或
C.或D.或
8．空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为.已知平面的方程为,直线l是平面与平面的交线,则直线l与平面所成角的大小为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知是等差数列的前n项和,,且,则( )
A.公差B.
C.D.当时,最大
10．双曲线的焦点为,,过的直线与双曲线的左支相交于A,B两点,过的直线与双曲线的右支相交于C,D两点,若四边形为平行四边形,则( )
A.
B.
C.平行四边形各边所在直线斜率均不为
D.
11．如图,在正方体中,P为棱的中点,Q为正方形内一动点（含边界）,则下列说法正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.若平面,则动点Q的轨迹是一条线段
C.存在Q点,使得平面
D.若直线与平面所成角的正切值为2,那么点Q的轨迹是以为圆心,半棱长为半径的圆弧
三、填空题
12．已知数列的前n项和满足,则__________.
13．在平行六面体中,,,,点P在上,且,用,,表示,则________________.
14．已知椭圆,且,直线与椭圆C相交于A,B两点.若点是线段的中点,则椭圆C的半焦距___________.
四、解答题
15．已知直线l过点,O为坐标原点.
(1)若直线l与直线垂直,求直线l的方程;
(2)若点O到直线l的距离为3,求直线l的方程.
16．如图,在四棱柱中,四边形是正方形,,,点G为的中点.
(1)用向量,,表示;
(2)求线段的长及直线与所成角的余弦值.
17．数列满足,,,数列满足,.
(1)证明数列是等差数列并求其通项公式.
(2)数列的前n项和为,问是否存在最小值?若存在,求的最小值及取得最小值时n的值;若不存在,请说明理由.
18．如图,在四棱锥中,平面平面,,,,M为棱的中点.
(1)证明：平面;
(2)若,
（i）求二面角的余弦值;
（ii）在棱上是否存在点Q,使得点Q到平面的距离是？若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
19．设，分别为椭圆:的左、右焦点，P是椭圆C短轴的一个顶点，已知的面积为，
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，M，N，G是椭圆上不重合的三点，原点O是的重心
(i)当直线垂直于x轴时，求点M到直线的距离；
(ii)求点M到直线的距离的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：由直线,,
当两条直线平行时,解得或,
当时,,,,
当时,,,
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
2．答案：A
解析：点到直线的距离为,
所以圆C的半径为,
则圆C的方程为.
故选：A.
3．答案：C
解析：因为椭圆的焦点坐标为,,所以所求椭圆的焦点在x轴上,且.因为所求椭圆的长轴长为,即,所以,所以,
所以所求椭圆的方程是.
故选：C.
4．答案：B
解析：对于A选项,点关于平面对称的点的坐标是,A错;
对于B选项,若直线l的方向向量为,平面的法向量为,
则,所以,B对;
对于C选项,已知O为空间中任意一点,A、B、C、P四点共面,且A、B、C、P中任意三点不共线,
则存在x、,使得,
即,
所以,
所以,,解得,C错;
对于D选项,若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线与平面所成的角为,D错.
故选：B.
5．答案：C
解析：由向量与,
得,
又,则,所以平面,的夹角的大小为.
故选：C.
6．答案：A
解析：设等差数列的公差为d.因为,,即
解得所以,所以.
故选：A.
7．答案：B
解析：由抛物线的方程,得,抛物线的焦点.根据题意可知直线l的斜率存在,且不为0,
设直线l的方程为,,.
由消去y,整理得,可得,所以.
因为,解得,,
所以直线l的方程为或.
故选：B.
8．答案：B
解析：依题意,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为.
设直线l的方向向量为,
,,,即令,则.
设直线l与平面所成的角为,则,.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：设等差数列的公差为d,
由,得,
整理得,即,
因为,则,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
因为,
,
所以当时,;当时,,
所以当时,最大,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：由题意可得,,则,故A错误.
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：,
则,B正确.
设任一边所在直线为（斜率存在时）,联立双曲线,
联立得,
则,即,C正确.
由,
设;,,,
联立得,
,,
则
,
设,则,
,
又单调递减,则, ,
故,D错误.
故选：BC.
11．答案：ABD
解析：设正方体的棱长为.
对选项A,三棱锥的体积即三棱锥的体积,
因为的面积为定值,点Q到平面的距离为定值,
所以三棱锥的体积为定值.故A正确;
对选项B,如图,分别取,的中点E,F,连接,,,.
由且,知四边形是平行四边形,
所以.因为平面,平面,所以平面.
同理可得平面,因为,,平面,
所以平面平面,则Q点的轨迹为线段,故B正确;
对选项C,以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,.设,,,
则,,.
设为平面的一个法向量,则
即,得取,则.
若平面,则,即存在,使得,
则,解得,与,矛盾,
故不存在点Q使得平面,故C错误;
对于选项D,因为平面,
所以即为直线与平面所成的角.
因为直线与平面所成角的正切值为2,
所以.因为点Q为正方形内一动点（含边界）,
所以点Q的轨迹是以为圆心,半棱长为半径的圆弧（正方形内）,
且其圆心角为,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：10
解析：由题得.
故答案为：10.
13．答案：
解析：在平行六面体中,点在上,且,
所以,
故答案为：.
14．答案：
解析：设,,因为A,B在椭圆上,
所以. 两式相减得,
即.
因为点是线段的中点,所以,.
斜率,得,即,解得.
当时,椭圆方程为,可得,所以.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为点,所以直线的斜率为.
因为直线l与直线垂直,所以直线l的斜率为.
又直线l过点,则直线l的点斜式方程为,
整理得.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时原点O到直线l的距离为3,满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即.
根据题意及点到直线的距离公式,得,所以.
两边平方,化简得,解得.
此时直线l的方程为,整理得.
综上,直线l的方程为或.
16．答案：(1)
(2),
解析：(1)方法一：由题意知
.
方法二：因为G为的中点,
所以.
(2)因为四边形是正方形,,,
所以,,.
所以
,
即线段的长为.
因为,
所以
,
又
,
所以,
即直线与所成角的余弦值为.
17．答案：(1)证明见解析,
(2)存在最小值,最小值为－9,此时
解析：(1)证明：因为,所以.
因为,所以,
所以.因为,所以,
所以数列是首项,公差的等差数列.
所以.
(2)根据等差数列的前项和公式,得.
对于二次函数,其图象的对称轴为直线,
所以当时,取得最小值.因为,
所以存在最小值,最小值为-9,此时.
18．答案：(1)证明见解析
(2)（i）,（ii）存在,
解析：(1)取的中点N,连接,,如图所示：
为棱的中点,
,,,,,,
四边形是平行四边形,,
又平面,平面,
平面;
(2),,,
,,
平面平面,平面平面,
平面,
平面,
又,平面,,,由,
以点D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图：
则,,,,,,
（i）故,
设平面的一个法向量为,
则,令,则,,,
平面的一个法向量为,
,.
则,令,则,,故,
,,
由于二面角的平面角为锐角,故二面角的余弦值为;
（ii）假设在线段上是存在点,使得点到平面的距离是,
设,,则,0,,0,,
由(2)知平面的一个法向量为,
,
点Q到平面的距离是,
,.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得
整理得解得
所以椭圆得方程为.
(2)(i)设，根据题意有.
因为原点O是的重心，
所以，
即，.
将，代入
解得，所以.
所以M到直线的距离为.
(ii)由(i)知当直线斜率不存在时M到直线的距离为.
当斜率存在时，设所在直线方程为，
，，
由
得，
且，即.
所以，
因为原点O是的重心，
所以，
所以，
所以.
将点M代入椭圆方程得并整理可得
所以点M到直线的距离为
.
综上所述，当与x轴垂直时点M到直线的距离最大为