2025高考数学一轮复习-第1章-第4节 基本不等式【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第1章-第4节 基本不等式【课件】，共58页。PPT课件主要包含了CONTENTS，知识诊断自测，a＝b，两个重要的不等式，考点聚焦突破，法二代入消元法，－28，ACD，课时分层精练等内容，欢迎下载使用。
1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
ZHISHIZHENDUANZICE
3.利用基本不等式求最值
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
3.(必修一P58T5改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为______.
4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25 m2.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　利用基本不等式求最值
解析　由a>0，b>0，a＋b＝9，
解析　由00，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析　法一(换元消元法)
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号.即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
即x＝4，y＝8时，等号成立，则2x＋y的最小值为16.
解析　因为x＞－1，则x＋1＞0，
所以函数的最小值为9.
考点二　利用基本不等式求参数的值或范围
(2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________.
解析　因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，
当且仅当y＝4x时等号成立，由xy≥m2－6m恒成立，可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8.
对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值.
即8＋2a＝10，故a＝1.
解析　因为x>0，y≥0，且x＋2y＝1，
即x＝1，y＝0时等号成立，
即m2－5m＋4≤0，解得1≤m≤4，所以整数m可取1，2，3，4，共4个，故选C.
考点三　利用基本不等式解决实际问题
例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　)
解析　设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，
A.6 B.12 C.18 D.24
此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.
利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
训练3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.
微点突破　基本不等式链
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)
∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.
解析　∵a2＋b2＝13，
又ab>0，所以a>0，b>0，
4.(2023·长沙雅礼中学质检)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　)A.36 B.25 C.16 D.9
解析　由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，
当且仅当1＋x＝2＋y，即x＝4，y＝3时等号成立，所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25.
解析　∵x＜，∴3x－2＜0，
6.(2024·巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　)A.4 B.5 C.7 D.9
解析　法一　因为xy＋x－2y＝4，所以(y＋1)x＝4＋2y，
法二　由xy＋x－2y＝4，得(x－2)·(y＋1)＝2，因为y＋1>0，所以x－2>0，
当且仅当2(x－2)＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立.
7.(多选)(2023·厦门质检)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　)
解析　因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1)，
9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求：(1)xy的最小值；
当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，∴xy的最小值为64.
(2)x＋y的最小值.
即x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.
设t＝a＋2，t∈(1，4)，则a＝t－2.
法二　因为－10，且(1＋a)＋(2－a)＝3，
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意的x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6，所以－6≥－m，即m≥6.
14.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少(cm)时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)?
解　设直角梯形的高为x cm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，