2025高考数学一轮复习-第2章-第4节 函数的奇偶性、周期性【课件】

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1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.
ZHISHIZHENDUANZICE
f(－x)＝－f(x)
2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________________________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)＝f(x)
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　)(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.(　　)(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　)
解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.
(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数,且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.(4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误.
解析　对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，
3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________________.
(－2，0)∪(2，5]
解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝______.
解析　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　函数奇偶性的判断
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
解　显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.
解　显然函数f(x)的定义域为R，
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
解析　对于A,只有奇函数在x＝0处有定义时,函数的图象过原点,所以A不正确；对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数,所以C正确；
解析　因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误；对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误；
对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为偶函数，故正确.
考点二　函数奇偶性的应用
所以g(x)为奇函数.
则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.
所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B.
(2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析　当x＜0时，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.
角度2　奇偶性与单调性例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　)A.f(f(1))0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x－23或x