2025高考数学一轮复习-第3章-第2节 导数与函数的单调性（一）【课件】

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1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的________；第2步，求出导函数f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　)(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)
解析　由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).
A.f(b)＞f(c)＞f(d) B.f(b)＞f(a)＞f(e)C.f(c)＞f(b)＞f(a) D.f(c)＞f(d)＞f(e)
3.(选修二P97T2改编)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是____________________________.
4.(选修二P89练习T2改编)若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析　f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　利用导函数的图象研究函数的单调性
例1 (1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
解析　由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上为单调递减函数，故x∈(－∞，0)时,f′(x)＜0，故排除A，C；当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f′(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选D.
(2)f′(x)是f(x)的导函数，若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
解析　由y＝f′(x)的图象可得：在(－∞，b)上f′(x)≥0，在(b，＋∞)上f′(x)＜0，根据原函数图象与导函数图象的关系可得：y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D，且在x＝0处，f′(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C.
由原函数图象识别导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0；由导函数图象识别原函数图象的依据：根据f′(x)＞0，则f(x)单调递增，f′(x)＜0，则f(x)单调递减.
训练1 (1)设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　)
解析　由f(x)的图象知：当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0，当x∈(1，4)时，f(x)单调递增，f′(x)＞0，当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，f′(x)＜0，由选项各图知：选项C符合题意，故选C.
(2)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)
解析　由题意可知，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，导函数f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，导函数f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，由选项可知图象D符合.
考点二　不含参函数的单调性
例2 (1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xexC.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0，1)时，φ(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
训练2 已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cs x，判断函数f(x)的单调性.
解　f′(x)＝1－2sin x，x∈[0，π]，
考点三　含参函数的单调性
此时函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
当a＝2时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
训练3 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性.
解　由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
令f′(x)>0，则xx2；令f′(x)