2025高考数学一轮复习-第6章-第3节 等比数列及其前n项和【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第6章-第3节 等比数列及其前n项和【课件】，共56页。PPT课件主要包含了CONTENTS，知识诊断自测，同一个，a1qn－1，am·an，考点聚焦突破，选①③作条件证明②，课时分层精练，ACD，－2n等内容，欢迎下载使用。
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.
ZHISHIZHENDUANZICE
3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝_______.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为______.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为______.(4)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或 0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
解析　(1)在等比数列中，q≠0.(2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a＝1时，Sn＝na.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.
3.(选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝_______________.
3·2n－1或2·3n－1
解析　设数列{an}的公比为q，
4.已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.
解析　设公比为q，则an＝a1qn－1，则a1·a1q2·a1q10＝8，
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　等比数列基本量的求解
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)A.14B.12C.6D.3
解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
(2)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　)A.3B.18C.54D.152
解析　因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54.
(3)(多选)(2024·广东名校联考)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)(　　)A.该人第五天走的路程为12里B.该人第三天走的路程为42里C.该人前三天共走的路程为330里D.该人最后三天共走的路程为42里
训练1 (1)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为________.
解析　由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，
(2)(2024·唐山模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝1，2S3＝7a2，则S5＝________.
解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
考点二　等比数列的判定与证明
例2 (2024·湖南名校质检)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*).(1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；
∴{an＋1＋3an}是以a2＋3a1＝5为首项，2为公比的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.
解　由(1)可知an＋1＋3an＝5·2n－1(n∈N*)，则an＋1＝－3an＋5·2n－1，设an＋1＋x·2n＝－3(an＋x·2n－1)，则an＋1＝－3an－5x·2n－1，则x＝－1，故an＋1－2n＝－3(an－2n－1)，又a1－20＝1，∴{an－2n－1}是以1为首项，－3为公比的等比数列，∴an－2n－1＝1×(－3)n－1，an＝2n－1＋(－3)n－1，
训练2 (2024·重庆九校联考)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.
证明　选①②作条件证明③.因为数列{an}，{Sn＋a1}是等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)，
因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以数列{an}的公比q＝2，
所以{Sn＋a1}是等比数列.选②③作条件证明①.因为数列{Sn＋a1}是等比数列，且a2＝2a1，
则数列{Sn＋a1}是以2a1为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n，Sn＝a1·2n－a1，所以an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－a1－(a1·2n－1－a1)＝a1·2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝a1，也符合上式，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列.
考点三　等比数列的性质
角度1　项的性质例3 (1)(2024·驻马店统考)在正项等比数列{an}中，若a3，a7是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两实根，则lg2a1＋lg2a2＋lg2a3＋…＋lg2a9＝(　　)A.8B.9C.16D.18
解析　由根与系数的关系可得a3a7＝4，
(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
解析　设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.
角度2　和的性质例4 (2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)A.120B.85C.－85D.－120
解析　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，
1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
解析　等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，又S4＝10S2，Sn>0，∴S6－10S2＝81S2，
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0).
所以S3＝a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝7，解得q＝2(q＝－3舍去)，所以a5＝a1q4＝1×24＝16.
解析　设数列{an}的公比为q，由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.
3.(2024·佛山质检)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为(　　)A.30B.10C.9D.6
解析　设等比数列{an}的公比为q，因为{an}是各项均为正数的等比数列，则a1>0，q>0，
解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，首项为a1，因为4a5，a3，2a4成等差数列，所以2a3＝4a5＋2a4，即2a1q2＝4a1q4＋2a1q3，
5.(2024·洛阳调研)龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2(a3·a5)的值为(　　)A.16B.12C.10D.8
解析　由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，
解得a1＝8，∴lg2(a3·a5)＝lg2(8×22×8×24)＝12.
解析　法一　设等比数列{an}的公比为q1，
解析　由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3，∵{an}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1.∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1，∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确；
8.(2023·上海卷)已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S6＝________.
9.(2024·盐城调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝________ (答案不唯一) .①anan＋1