2025高考数学一轮复习-第8章-第3节 圆的方程【课件】

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1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
解析　(1)当a＝0时，x2＋y2＝0表示点(0，0)；当a≠0时，表示半径为|a|的圆.
解析　法一　∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
3.(2023·上海卷)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________.
解析　由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，
∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.
4.(选修一P85T4改编)已知△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△AOB的外接圆的标准方程是______________________.
KAODIANJUJIAOTUPO
例1 (1)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析　设两端点分别为(a，0)和(0，b)，则a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，即a＝4，b＝－6，
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_______________________.
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析　法一　设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二　设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法三　设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数.
训练1 (1)(2024·邯郸模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为____________________.
(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
解析　到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为______________________________________________________________________________________ (写出一个即可).
解析　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点，
考点二　与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；
解　法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1.
化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解　设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程.
(2)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________.
解析　设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
得4x2＋4y2＝100，即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25.
考点三　与圆有关的最值问题
(2)x＋y的最大值和最小值；
解　设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
解析　P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
解析　将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆.设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，
(2)(2024·福州质检)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a＝________.
因为⊙O1和⊙O2关于直线ax＋2y＋1＝0对称，所以|O1O2|＝2d，则EF长度的最小值为||O1O2|－2r|＝|2d－4|，又EF长度的最小值为4，所以|2d－4|＝4，易知d>0，所以d＝4，
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　)A.(0，2)B.(3，3)C.(－2，2)D.(4，2)
解析　由(0－1)2＋(2＋2)225知(3，3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上，由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圆上.
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析　因为圆心为(1，1)且过原点，
3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为(　　)A.x2＋y2－2y－3＝0B.x2＋y2－2y－15＝0C.x2＋y2＋2y－3＝0D.x2＋y2＋2y－15＝0
解析　由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2.故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.
解析　设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内.
5.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)A.6B.25C.26D.36
解析　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
解析　圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)，依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上，因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是________.
解析　依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，解得a＝－1或2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心为(－2，－4)，半径是5；当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
9.已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为_______________________________________.
x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))
解析　设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1).所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).
10.(2024·德州联考)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
解析　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
解得b＝1，所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.
解　设P(x，y)，由于P是MN中点，由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，代入x2＋(y－1)2＝10，
12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点.求：(1)m＋2n的最大值；
设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.
13.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是(　　　)A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4π
解析　圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根， B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
14.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；
解　圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
故O在线段PM的垂直平分线上，点P(2，2)适合圆N的方程，易知P在圆N上，从而ON⊥PM.