2025高考数学一轮复习-第8章-第6节 双曲线【课件】

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1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个______叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若____，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为__________；③若_____，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
x∈R，y≤－a或y≥a
A1(－a，0)，A2(a，0)
解析　(1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
2.(选修一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________.
3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，
解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　双曲线的定义及应用
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
解析　如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，
由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝|AB|＋4a，所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a，因为a＝2，|AB|的最小值为4，所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16.
1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
解析　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝20).
解析　法一　由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，
考点三　双曲线的几何性质
即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
解析　如图所示，∵OQ∥PF，∴∠AOQ＝∠OFP.又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，∴△OPF为等腰三角形，作PM⊥OF，垂足为M，
拓展视野　　椭圆、双曲线中的二级结论
解析　[通法]由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，
解析　如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t.
则(*)中Δ≥0，即36t2－4×4(3t2－3)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.又x＋y＋m≤0恒成立，则m≤[－(x＋y)]min，即m≤－2.
解析　设点P的横坐标为x0，由双曲线焦半径公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，结合条件|PF1|＝3|PF2|，则ex0＋a＝3(ex0－a)，
解析　由题意知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
解析　由题知F(c，0).
所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值，所以A错误，B正确；
解析　由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，
8.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为______________.
由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3.因此b2＝c2－a2＝16，
设该双曲线的左焦点为F1，连接PF1，QF1，因为PF⊥QF，P，Q关于原点对称，所以不妨设点P在第一象限，则由双曲线的对称性可得四边形PF1QF为矩形，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF|＝2，所以|QF|－|PF|＝2.①又|PF|2＋|QF|2＝|PQ|2＝20，②
设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.
解　不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.
解　设点A的坐标为(x0，y0)，
解析　法一　由题意可知F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，
解　设双曲线的离心率为e，焦距为2c，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，所以离心率e＝2.