2025高考数学一轮复习-第8章-第8节 直线与圆锥曲线【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第8章-第8节 直线与圆锥曲线【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，考点聚焦突破，考点二中点弦，考点三弦长公式，课时分层精练，ABD等内容，欢迎下载使用。
1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有______、______、______；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C______；Δ＝0时，直线l与曲线C______；Δ＜0时，直线l与曲线C______.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝______________＝____________________________或 |AB|＝______________＝________________________，k为直线斜率且k≠0.
解析　(3)当“直线l与双曲线C只有一个公共点”成立时，则与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点或者直线l与双曲线相切有一个交点.(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点.
解析　结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有4条，过点(0，1)且平行于渐近线的两条直线以及过点(0，1)且与双曲线相切的两条直线.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.
解析　法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，故m≥1且m≠5.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m>0且m≠5，所以m≥1－5k2恒成立，所以m≥1且m≠5.
(3)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为 ____________.
解析　当斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点.当斜率不等于0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立，
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，
由双曲线方程可得渐近方程为y＝±3x，如图.
解析　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
训练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为__________.
解析　因为焦点到准线的距离为p，则p＝1，所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
解析　设抛物线的方程为x2＝2ay，则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，得x2－ax＋a＝0，所以x1＋x2＝a，x1x2＝a，
所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6，所以x2＝－4y或x2＝12y.
解析　由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1).
微点突破　轨迹方程问题
1.曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程.
2.求曲线方程的基本方法主要有：(1)直接法：直接将几何条件或等量关系表示为代数方程；(2)定义法：利用曲线的定义，判断曲线类型，再由曲线的定义直接写出曲线方程；
(5)交轨法：引入参数表示两动曲线的方程，将参数消去，得到两动曲线交点的轨迹方程.
解析　设P(x，y)，
解析　设M(x，y)，由M为线段OP的中点，得P(2x，2y)，
(3)(多选)(2024·泰安模拟)已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列说法正确的是(　　)A.当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆B.点Q的轨迹可能是一个定点C.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支D.点Q的轨迹可能是抛物线
解析　对于A，连接QA，OA，由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA||OP|，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线，C错误.对于D，由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，所以点Q的轨迹不可能为抛物线，D错误.
解　法一　设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，
法二　设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0).由题意知B1(0，－3)，B2(0，3)，
训练 （1）动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是(　　)A.x2＋y2＋3x＋2＝0B.x2＋y2－3x＋2＝0C.x2＋y2＋3y＋2＝0D.x2＋y2－3y＋2＝0
解析　设动点A(xA，yA)与定点B(3，0)连线的中点为P(x，y)，
因为点A在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1，即4x2－12x＋9＋4y2＝1，整理得x2＋y2－3x＋2＝0.
y2＝4x(x≠0且x≠1)
化简可得y2＝4x(x≠0，x≠1)，故曲线E的方程为y2＝4x(x≠0，x≠1).
(3)若动圆与两定圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________________.
解析　设圆C1为(x＋5)2＋y2＝1，可得圆心C1(－5，0)，半径r1＝1，设圆C2为(x－5)2＋y2＝49，可得圆心C2(5，0)，半径r2＝7，且|C1C2|＝10.设动圆圆心为C，半径为r，因为动圆C同时与圆C1和圆C2外切，所以|CC1|＝r＋1，|CC2|＝7＋r，所以|CC2|－|CC1|＝60)上除原点以外的两个动点，若OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.
解　当AB所在直线的斜率不存在时，M为一定点，坐标为(4p，0).当AB所在直线的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0).
由题可知，k2≠0，Δ>0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，则b＝－4pk.①设点M(x，y)(x≠0，y≠0)，
由①②及y＝kx＋b消去k，b，得x2＋y2－4px＝0(y≠0).又点(4p，0)满足x2＋y2－4px＝0，所以点M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0.
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
解析　由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
得(b2－a2)x2－2a2x－a2－a2b2＝0，
则Δ＝4a4＋4(b2－a2)(a2＋a2b2)＝0，即a2＋(b2－a2)(1＋b2)＝0，又b2＝9－a2，所以a2＋(9－2a2)(10－a2)＝0，即a4－14a2＋45＝0，
对于B，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，B正确；
8.过点P(2，2)作抛物线y2＝2x的切线l，切线l在y轴上的截距为________.
令x＝0，得y＝1，∴切线l在y轴上的截距为1.
9.以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为______________.
解析　设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，
∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.
∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0.
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程.
解　由题意得，直线l的斜率存在.
解　由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＋y－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解析　如图，连接AF1，DF2，EF2，
所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，
所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，