2025高考数学一轮复习-第10章-第3节 二项式定理【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第10章-第3节 二项式定理【课件】，共52页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，考点聚焦突破，ACD，课时分层精练等内容，欢迎下载使用。
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
ZHISHIZHENDUANZICE
2.(选修三P34T1改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)A.74B.121C.－74D.－121
3.(选修三P38T3改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________.
解析　令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
4.(选修三P31T4改编)(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数为________.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　展开式中的通项
角度3　三项展开式问题例3 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________.
解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
1.求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.3.对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
(2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为________.
(3)(2024·重庆质检)(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为________.
解析　将(2x2＋y＋1)5看作5个因式(2x2＋y＋1)相乘，根据x4y2的指数可得5个因式中有两个选2x2，两个选y，一个选1，进行相乘，
考点二　二项式系数的和与各项系数的和
解析　令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确；
(2)(2024·南昌调研)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
训练2 (1)(2024·西安质检)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　)A.1B.243C.121D.122
解析　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝122＋121＝243.
考点三　系数的最值问题
解析　由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32(负值舍去)，解得n＝5.
训练3 (多选)(2024·杭州质检)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　　)A.展开式中的二项式系数之和为2 048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小
解析　由二项式系数的性质知，(a－b)11的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为(a－b)11的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故C正确，B错误；因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故D正确.
KESHIFENCENGJINGLIAN
2.(2024·南通调研)已知(3x－1)·(x＋1)n的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含x2的项的系数为(　　)A.25B.3C.5D.33
解析　令x＝1，可得展开式中所有项的系数之和为2n＋1＝64，故n＝5，
5.(2024·柳州、梧州大联考)已知(2－x)·(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a6＝(　　)A.34B.30C.－34D.－30
解析　令x＝0，得a0＝2，(2x＋1)5的展开式的通项为
故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项满足题意，
对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；对于D，令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误.
解析　由题目条件，只有第5项的二项式系数最大，得n＝8.
∴a＝4n－1，当n＝2 024时，a＝42 024－1＝(15＋1)1 012－1，
(2)求含x2的项的系数.
12.(2024·武汉质检)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.(1)求n的值；
所以n＝10.选择条件③：若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210.所以n＝10.
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解 由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，令x＝0，则a0＝1，令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.
13.(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　)A.120B.－120C.60D.30
解析　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，
14.在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
解　设系数绝对值最大的项是第r＋1项，
解　由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r－1项的系数最大(r∈N*)，