2025高考数学一轮复习-第10章-第5节 古典概型、概率的基本性质【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第10章-第5节 古典概型、概率的基本性质【课件】，共58页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，考点聚焦突破，考点一古典概型，ABC，课时分层精练等内容，欢迎下载使用。
1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率. 3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：样本空间的样本点只有________；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性______.
3.概率的性质性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P()＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.(　　)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　)(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0或不小于0的可能性相同.(　　)
解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括“正反”与“反正”两个样本点，所以(2)不正确.
2.(必修二P237例7改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是________.
3.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________.
4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________.
KAODIANJUJIAOTUPO
例1 (1)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为(　　)
解析　按接球人分类：①不含甲，三人时，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；两人时，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种，故共计27种.
(2)(2024·沈阳模拟)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变的概率为________.
解析　要使得(2，3)的状态发生改变，则需要按(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)这五个开关中的一个，要使得(4，1)的状态发生改变，则需要按(3，1)，(4，1)，(4，2)这三个开关中的一个，所以要使得(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)中的两个或(3，1)，(4，1)，(4，2)中的两个，
求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.
训练1 (1)(2023·益阳调研)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行实验，则抽到的2种不同的种子的标号之和恰为10的概率为(　　)
解析　法一　设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：
考点二　概率的基本性质
例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：
解　由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
求：(1)表中字母a的值；
(2)至少遇到4个红灯的概率；
解　设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)至多遇到5个红灯的概率.
复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
训练2 (多选)(2024·河北名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则(　　　)A.P(A)＝0.55B.P(B)＝0.18C.P(C)＝0.27D.P(B∪C)＝0.55
∵事件A∪B为事件C的对立事件，且事件A，B，C两两互斥，∴P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，∴P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.
考点三　古典概型的综合应用
例3 (2024·南充诊断)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有2×2列联表如表所示.
(1)根据已知条件完成如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；
解　由题意可知，2×2列联表为
零假设H0：“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”无关.
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，∴认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.
解　若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查，则爱吃甜食的有3人，设为x，y，z，不爱吃甜食的有5人，设为a，b，c，d，e，从中随机抽取2人，所有情况为{x，y}，{x，z}，{y，z}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{x，e}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，{y，e}，{z，a}，{z，b}，{z，c}，{z，d}，{z，e}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共28种，
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
(1)求直方图中x的值；
解　由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，所以直方图中x的值是0.007 5.
训练3 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.450.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.
(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.
解　月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280，300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户).所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别抽取3户、2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件A，
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(多选)下列试验是古典概型的是(　　)A.在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
解析　A中，在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0，该事件个数是无限的；B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率不符合有限性；D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.
解析　记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个，
解析　从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，这三个数之积为偶数的样本点有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9个，它们之和大于8的样本点有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5个，
6.(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　)A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率
解析　对于A、B，两事件能同时发生，不是互斥事件，A、B错误；
解析　记事件D＝“抽到红花色”，因为D＝A∪B，且A，B不会同时发生，
9.(2024·重庆诊断)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________.
解析　分为两类，舀取到的饺子有1个白菜馅，2个韭菜馅，或是2个白菜馅，1个韭菜馅，
10.(2024·聊城模拟)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质.现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________.
因为2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27，所以具有“准等比”性质的4个数有{2，16，4，8}，{2，32，4，16}，{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{8，16，4，32}，{4，64，8，32}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，32，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13种.
11.2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
解　由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
解　从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点.
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.
解 由表格知，符合题意的样本空间为{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，
12.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
解　由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.
13.(2024·北京通州区质检)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分三组各进行一场比赛，胜两场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为_______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为________.
解析　齐王的上、中、下等马分别记为a1，a2，a3，田忌的上、中、下等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，双方每组对阵情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌获胜；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齐王获胜；(a3，b1)，(a2，b2)，(a1，b3)，齐王获胜，共6种；
14.为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断有疲乏症状与是否使用该新药有关？
解　由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，零假设H0：有疲乏症状与是否使用该新药无关.根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有疲乏症状与是否使用新药有关.