专题13.5 期末专项复习之二元一次方程组十四大必考点-最新苏教版七年级下册数学精讲精练

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2、注重动手操作，引导学生“做”数学。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索与合作交流也是学习数学的重要方法。
3、注重“过程”和数学思想方法。新教材通过让学生亲身经历知识的形成过程，使学生的学习过程更多地成为其发现数学、了解数学、体验数学的过程。
专题13.5 二元一次方程组十四大必考点
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2121" 【考点1 二元一次方程（组）的概念】 PAGEREF _Tc2121 \h 1
\l "_Tc10158" 【考点2 二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc10158 \h 3
\l "_Tc16287" 【考点3 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc16287 \h 5
\l "_Tc6815" 【题型4 同解方程组】 PAGEREF _Tc6815 \h 8
\l "_Tc20890" 【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc20890 \h 11
\l "_Tc868" 【题型6 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc868 \h 14
\l "_Tc7619" 【考点7 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc7619 \h 16
\l "_Tc25507" 【考点8 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc25507 \h 20
\l "_Tc9850" 【考点9 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc9850 \h 23
\l "_Tc26179" 【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】 PAGEREF _Tc26179 \h 26
\l "_Tc31980" 【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc31980 \h 29
\l "_Tc10776" 【考点12 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc10776 \h 34
\l "_Tc13712" 【考点13 三元一次方程组的解法】 PAGEREF _Tc13712 \h 39
\l "_Tc26341" 【考点14 三元一次方程组的应用】 PAGEREF _Tc26341 \h 42
【考点1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③x2−5x＝5，④x﹣1y+2＝0中，为二元一次方程的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程进行判断．
【详解】解：①2x﹣3y＝1，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程；
②xy＝﹣2，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程；
③x2−5x＝5，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程；
④x﹣1y+2＝0不是整式方程，不是二元一次方程；
故选：A．
【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-1】（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（ ）
①4x+y=2x−2y=−3；②2x−y=1y+z=1；③x=3y−5=0；④x−2y2=3x+3y=1．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意；
②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意；
③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意；
④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【变式1-2】（2022·全国·八年级单元测试）已知(a−2)x+a2−3+y=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为________．
【答案】a≠2
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得a−2≠0，再解即可．
【详解】解：依题意得：a−2≠0，
解得a≠2．
故答案是：a≠2．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．熟记二元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期末）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________．
【答案】x=−1y=2
【分析】由ax+by=c，b=a+1，c=b+1，得ax+ay+y=a+2，由对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解即可求解；
【详解】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1，
∴ax+ay+y=a+2
∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解
∴令a=0，则y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2
得：ax=-a，
∴x=-1，
∴公共解为x=−1y=2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程，由b=a+1，c=b+1得到ax+ay+y=a+2是解题的关键．
【考点2 二元一次方程组的解】
【例2】（2022·浙江·华东师范大学附属杭州学校七年级期末）方程组2x+y=▴x+y=3的解为x=2y=◼，则被遮盖的两个数▲和■分别为( )
A．1，2B．5，1C．2，3D．2，4
【答案】B
【分析】将x=2代入x+y=3中求出y的值，将x，y的值代入2x+y求值即可得出答案．
【详解】解：将x=2代入x+y=3中得：y=1，
2x+y=2×2+1=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是方程组两个方程的公共解是解题的关键．
【变式2-1】（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组ax+5y=15①4x=by−2②时，乐乐看错了方程①中的a，解得x=−3y=−1，果果看错了方程②中的b，解得x=5y=4，求a2021+−b102022的值．
【答案】0
【分析】把x=−3y=−1代入②得出−12=−b−2可求出b，把x=5y=4代入①得出5a+20=15可求出a，然后再代入求代数式的值即可．
【详解】解：∵甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x=by−2②时，甲看错了方程①中的a，解得x=−3y=−1，乙看错了方程②中的b，解得x=5y=4，
∴把x=−3y=−1代入②，得−12=−b−2，解得：b=10，
把x=5y=4代入①，得5a+20=15，解得：a=−1，
∴a2021+(−b10)2022
=(−1)2021+(−1010)2022
=−1+1
=0．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题的关键是列出关于a、b的一元一次方程求得a、b的值．
【变式2-2】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）若x=1y=−2和x=−1y=−4是某二元一次方程的解，则这个方程为（ ）
A．x+2y= -3B．2x−y=0C．y=3x−5D．x−3=y
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的解的定义判断即可．
【详解】解：A、当x=−1，y=−4时，x+2y=-9≠-3,
故x=−1y=−4不是方程x+2y= -3的解，不符合题意；
B、当x=1，y=−2时，2x-y=2+2≠-3,
故x=1y=−2不是方程2x−y=0的解，不符合题意；
C、当x=−1，y=−4时，y=3x−5=−8≠−4，
故x=−1y=−4不是方程y=3x−5的解，不符合题意；
D、当x=1y=−2和x=−1y=−4时，方程x−y=3都成立，
故x=1y=−2和x=−1y=−4是方程x−y=3的解，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即为该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
【变式2-3】（2022·陕西汉中·七年级期末）已知关于x、y的方程组x+y=1−ax−y=3a+5，则下列结论中正确的有( )
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的解；
②当x=y时，a=−53；
③不论a取什么数，2x+y的值始终不变．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】将已知代入二元一次方程组后进行判断，可知①②是否正确；用代入消元法解二元一次方程组，然后再求2x+y即可判断③是否正确．
【详解】解：当a=1时，x+y=0，
故①不符合题意；
当x=y时，3a+5=0，
∴a=−53，
故②符合题意；
x+y=1−a①x−y=3a+5②，
①+②得，x=a+3，
将x=a+3代入①得，y=−2−2a，
∴2x+y=2a+6−2−2a=4，
∴2x+y的值始终不变，
故③符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【考点3 解二元一次方程组】
【例3】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期末）关于x，y方程组3x+5y=m+22x+3y=m满足x，y的和为2，则m2−2m+1的值为______．
【答案】9
【分析】先求出方程组的解，然后结合x+y=2，求出m的值，再代入计算，即可求出答案．
【详解】解：∵3x+5y=m+22x+3y=m，
解方程组，得x=2m−6y=−m+4，
∵x+y=2，
∴2m−6−m+4=2，
解得m=4，
∴m2−2m+1=(m−1)2=(4−1)2=9；
故答案为：9
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，求代数式的值，解题的关键是正确的求出方程组的解，从而求出m的值．
【变式3-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组3x+y=5ax−2y=4的解也是方程组3x−by=54x−5y=−6的解求a,b的值．
【答案】a=5,b=−1
【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据二元一次方程组解的定义，即可求出答案．
【详解】3x+y=5① 4x−5y=−6②，①×（-5）－②得，-19x=−19，解得x=1，
把x=1代入①得，3+y=5，解得y=2，
所以方程组3x+y=54x−5y=−6的解是x=1y=2，
把x=1y=2代入方程组ax−2y=43x−by=5，得a−4=13−2b=5，解得a=5b=−1，
故答案为：a=5,b=−1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组．
【变式3-2】（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组
(1)y=2x−43x+y=1
(2)3(x+y)−4(x−y)=4x+y2+x−y6=1
【答案】(1)x=1y=−2
(2)x=1715y=1115
【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）先化简方程，再用加减法求解即可．
（1）
解：y=2x−4①3x+y=1②，
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为x=1y=−2；
（2）
解：方程组整理得：-x+7y=4①2x+y=3②，
①×2+②得：15y＝11，
解得：y＝1115，
②×7﹣①得：15x＝17，
解得：x＝1715，
则方程组的解为x=1715y=1115．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法和加减消元法求解是解题的关键．
【变式3-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．
【答案】（1）a=103，b=-53；（2）36
【分析】（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+1，得出关于a、b的方程组，再求出方程组的解即可；
（2）把x=-3代入（1）中所求的结果，即可求出y．
【详解】解：（1）根据题意，得a−b+1=6①4a+2b+1=11②，
①×2+②，得6a+3=23，
解得：a=103，
把a=103代入①，得103-b+1=6，
解得：b=-53；
（2）y=103x2−53x+1，
当x=-3时，y=103×(−3)2−53×(−3)+1=36．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
【题型4 同解方程组】
【例4】（2022·山东济宁·七年级期末）已知方程组2x−y=7ax+y=b和方程组x+by=a3x+y=8有相同的解，则a，b的值分别为（ ）
A．a=1b=2B．a=4b=−6C．a=−6b=2D．a=14b=2
【答案】A
【分析】先根据方程组2x−y=7①3x+y=8②，求出x=3，y=−1再代入ax+y=b和x+by=a中，得到关于a、b的方程组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：2x−y=7①3x+y=8②，
由①+②得：5x=15，
解得：x=3，
把x=3代入①得：6−y=7，
解得：y=−1，
把x=3，y=−1代入ax+y=b和x+by=a中得：
3a−1=b3−b=a，解得：a=1b=2．
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，遇到有关二元一次方程组的解的问题时，将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程组中的字母系数．
【变式4-1】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知方程组3x−2y=4mx+ny=7与mx+3ny=515y−x=3有相同的解，则m+n=_______．
【答案】292
【分析】根据两个方程组解相同，可先求出x、y的值，再将x、y的值代入其余两个方程即可求出m、n的值．
【详解】解：根据题意，得5y−x=33x−2y=4，
解得x=2y=1，
把x、y的值代入方程组mx+ny=7mx+3ny=51，
可得2m+n=72m+3n=51，
解得m=−152n=22．
∴m+n=292．
故答案为：292．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求出x、y的值．
【变式4-2】（2022·黑龙江·大庆市高新区学校七年级期末）关于x，y的两个方程组ax−2by=22x−y=7和3ax−5by=93x−y=11有相同的解，则ab的值是（ ）
A．23B．32C．−23D．12
【答案】A
【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组ax−2by=23ax−5by=9和2x−y=73x−y=11，先计算不含参的二元一次方程组2x−y=73x−y=11，得x,y的值，然后代入含参的二元一次方程组ax−2by=23ax−5by=9，求a,b的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组ax−2by=23ax−5by=9和2x−y=73x−y=11有相同的解
解方程组2x−y=7①3x−y=11②
②−①得x=4
将x=4代入①式得2×4−y=7
解得y=1
∴方程组的解为x=4y=1
将x=4y=1代入方程组ax−2by=23ax−5by=9得4a−2b=212a−5b=9
解关于a,b的方程组4a−2b=2③12a−5b=9④
③×3−④得−b=−3
解得b=3
将b=3代入③式得4a−2×3=2
解得a=2
∴方程组的解为a=2b=3
∴ab=23
故选A．
【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解．
【变式4-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=4ax+by=7和ax−by=−1x−2y=−3的解相同，求a+b的值．
【答案】5
【分析】先联立2x+y=4x−2y=−3，求出x和y的值，代入ax+by=7ax−by=−1，求出a和b的值即可．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组2x+y=4ax+by=7和ax−by=−1x−2y=−3的解相同，
∴联立2x+y=4x−2y=−3，
解方程组，得x=1y=2，
将x=1y=2代入ax+by=7ax−by=−1得a+2b=7a−2b=−1，
解方程组，得a=3b=2，
∴a+b＝2+3＝5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，联立两个已知的方程求出x和y的值是解题的关键．
【题型5 二元一次方程组的错解复原问题】
【例5】（2021·山东滨州·七年级期末）解方程组ax+by=2cx−7y=8时，一学生把c看错而得到x=−2y=2，而正确的解是x=3y=−2，那么a+b+c的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】先将两组解代入方程组中的第一个方程可得关于a,b的方程组，解方程组可得a,b的值，再将x=3y=−2代入方程组中的第二个方程可得c的值，然后代入计算即可得．
【详解】解：由题意，将x=−2y=2和x=3y=−2代入方程ax+by=2得：−2a+2b=23a−2b=2，
解得a=4b=5，
将x=3y=−2代入cx−7y=8得：3c+14=8，解得c=−2，
则a+b+c=4+5+(−2)=7，
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
【变式5-1】（2022·四川巴中·七年级期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组3x−by=−1①ax+by=−5②时，甲因看错a得到方程组的解为x=1y=2，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为x=−1y=−1．
(1)求a、b的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)a=7，b=2
(2)x=−35y=−25
【分析】（1）将x=1y=2代入3x−by=−1①ax+by=−5②算出b，将x=−1y=−1代入3x−by=−1①ax+by=−5②算出a即可；
（2）将a b的值代入二元一次方程组中，解出即可．
(1)
解：甲看错方程组中的
3x−by=−1①ax+by=−5②的a，得到方程组的解为x=1y=2．
∴将x=1y=2代入①得：3−2b=−1，
∴b=2
∵乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解x=−1y=−1，
∴将x=−1y=−1代入ax−by=−5中
得：a=7；
(2)
解：将a=7b=2代入3x−by=−1①ax+by=−5②中得：7x+2y=−53x−2y=−1 ，
解得x=−35y=−25 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
【变式5-2】（2018·江西宜春·七年级期末）已知方程组ax−5y=15①4x−by=−2②由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x=−3y=−1；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=5y=4，若按正确的a，b计算，请你求原方程组的解．
【答案】x=165y=3725
【分析】把甲的结果代入方程②求出b的值，把乙的结果代入方程①求出a的值，然后可确定出方程组，利用加减消元法解方程组即可得．
【详解】解：由题意，把x=−3y=−1代入方程②得：−12+b=−2，解得b=10，
把x=5y=4代入方程①得：5a−20=15，解得a=7，
则方程组为7x−5y=15①4x−10y=−2②，
由①×2−②得：14x−4x=30+2，
解得x=165，
将x=165代入①得：7×165−5y=15，
解得y=3725，
则方程组的解为x=165y=3725．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
【变式5-3】（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组ax+5y=104x−by=−4时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=3y=−1；乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)x=4513y=813
【分析】（1）把x=3y=−1代入ax+5y=10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把x=5y=4代入4x−by=−4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把x=3y=−1代入4x−by=−4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把x=5y=4代入ax+5y=10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
【详解】（1）解：把x=3y=−1代入ax+5y=10，
可得：3a+5×−1=10，
解得：a=5，
把x=5y=4代入4x−by=−4，
可得：4×5−4b=−4，
解得：b=6，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把x=3y=−1代入4x−by=−4，
可得：12+b=−4，
解得：b=−16，
把x=5y=4代入ax+5y=10，
可得：5a+20=10，
解得：a=−2，
把a=−2，b=−16代入原方程组，
可得：−2x+5y=10①4x+16y=−4②，
由②得：2x+8y=−2③，
由①+③，可得：13y=8，
∴y=813，
把y=813代入①，可得：−2x+5×813=10，
解得：x=−4513，
∴原方程组的解x=4513y=813．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
【题型6 构造二元一次方程组求解】
【例6】（2022·浙江湖州·七年级期末）小王和小明分别计算同一道整式乘法题：3x+m4x+n，小王由于抄错了一个多项式中m的符号，得到的结果为12x2−17x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为6x2−5x−6，则这道题的正确结果是_________．
【答案】12x2−x−6
【分析】利用小王和小明的解法列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值，再将m，n的值代入原式计算即可．
【详解】解：由小王的解法可知3x−m4x+n=12x2−17x+6，
即12x2+3n−4mx−mn=12x2−17x+6，
可知3n−4m=−17；
由小红的结果可知小红将4抄成2，
故3x+m2x+n=6x2−5x−6，
即6x2+3n+2mx+mn=6x2−5x−6，
可知3n+2m=−5；
联立得3n−4m=−173n+2m=−5，
解得m=2n=−3，
将m=2n=−3代入3x+m4x+n得3x+24x−3=12x2−x−6．
故答案为：12x2−x−6．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算及解二元一次方程组，正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键．
【变式6-1】（2022·山东济宁·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x*y=ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5=10，4*7=28，则3*6=（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】B
【分析】根据题中的新定义的运算法则，列出方程组，解方程组求出a与b的值，再代入(3∗6)计算即可．
【详解】解：根据题中的新定义，可得2a+5b+1=104a+7b+1=28，
解方程组，得a=12b=−3，
∴3∗6=3×12+6×(−3)+1=19．
故选：B．
【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，理解定义新运算公式，掌握二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
【变式6-2】（2022·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）当x=1时，多项式a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5的值是32，且当x=−1该多项式值为0，则a+c+e的值是（ ）
A．8B．16C．32D．无法确定
【答案】B
【分析】根题意分别把x=1、x=−1代入得出方程组，①+②即可求出2a+2c+2e的值，两边都除以2即可求出答案．
【详解】解析：∵当x=1时，多项式a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5的值是32，且当x=−1该多项式值为0，
∴代入得：a+b+c+d+e+f=32①a−b+c−d+e−f=0②，
①＋②得：2a+2c+2e=32，两边都除以2得：a+c+e=16，
故选B．
【点睛】本题考查了代数式求值的应用，主要检查学生能否选择适当的方法求出a+c+e的值，难点是正确代入，题目较好，难度不大．
【变式6-3】（2022·安徽安庆·七年级期末）当a、b都是整数时，我们称（a，b）为一个有序整数对，如（-2，2）和（2，-2）是两个不同的有序整数对，则满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
【答案】D
【分析】根据整数的性质可知当a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1时，a−b=0ab=1，或a−b=1ab=0，再根据绝对值的定义以及有理数的混合运算法则分别求出满足a−b=0ab=1与满足a−b=1ab=0的有序整数对即可．
【详解】解：∵a、b都是整数，且|a-b|+|ab|=1，
∴a−b=0ab=1，或a−b=1ab=0．
满足a−b=0ab=1的有序整数对有（1，1），（-1，-1）；
满足a−b=1ab=0的有序整数对有（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1）．
综上所述，满足|a-b|+|ab|=1的有序整数对有（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，1），（-1，-0），（0，-1），一共6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算，绝对值的定义，数的整除，掌握数的整除性以及运算法则是解题的关键．
【考点7 二元一次方程的整数解】
【例7】（2022·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个．
【答案】 x=1y=3 无数
【分析】把x看做已知数求出y，分析即可确定出正整数解及整数解的情况．
【详解】解：方程3x+8y=27，
解得：y=3(9−x)8,
∵当x、y是正整数时，9-x是8的倍数，
∴x=1，y=3；
∴二元一次方程3x+8y=27的正整数解只有1个，即x=1y=3；
∵当x、y是整数时，9-x是8的倍数，
∴x可以有无数个值，如-7,-15,-23，……；
∴二元一次方程3x+8y=27的整数解有无数个.
故答案是：x=1y=3；无数.
【点睛】此题考查了二元一次方程的整数解及正整数解问题，解题的关键是将x看做已知数求出y．
【变式7-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程9x−3=kx+14有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
【答案】k=26，10，8，-8．
【分析】将原式转化，得到(9−k)x=17，根据x与k均为整数，即可推出k的值．
【详解】9x−3=kx+14，
(9−k)x=17，
∵x，k都是整数，
∴(9−k)，x都是整数，
∴9−k=−17，−1，1或17，
∴k=26，10，8，−8．
【点睛】本题考查了方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解限制在有限的范围内通过试解即可得到k的值．
【变式7-2】（2022·重庆一中八年级开学考试）对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“M数”，将一个“M数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“M数”m=1234，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F1234=205．
(1)计算：F1213，F8567；
(2)若“M数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），Fn也是“M数”，且Fn能被8整除．求FFn的值．
【答案】(1)190,1049.
(2)195或198.
【分析】（1）直接根据阅读部分提供的运算法则进行运算即可；
（2）先求解Fn =1160+7x+y, 结合Fn能被8整除，可得7x+y能够被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，x≠y,再分类讨论即可.
(1)
解：F1213=213+113+123+121÷3=190,
F8567=567+867+857+856÷3=1049.
(2)
解：∵ “M数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），
∴ Fn=900+10x+y+800+10x+y+890+y+890+x÷3
=1160+7x+y,
∵ Fn能被8整除，
∴7x+y能够被8整除，而1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，x≠y,
∴ 当x=1,y=9, Fn=1160+7+9=1176,
此时FFn=F1176=176+176+116+117÷3=195,
当x=9,y=1, Fn=1160+63+1=1224,
此时FFn=F1224=224+124+124+122÷3=198.
【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义运算，数的整除，二元一次方程的正整数解问题，考查方式比较新颖，理解“M数”的具体特征是解决问题的关键．
【变式7-3】（2022·重庆涪陵·七年级期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数m为“三峡数”．当三位自然数m为“三峡数”时，交换m的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数n，规定F(m)=m−n99．例如：当m=583时，因为5+3=8，所以583是“三峡数”；此时n=385，则F(m)=m−n99=583−38599=19899=2．
(1)判断341和153是否是“二峡数”？并说明理由；
(2)求F352的值；
(3)若三位自然数m=100a+10a+b+b（即m的百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b，1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数，1≤a+b≤9）为“三峡数”，且Fm=5时，求满足条件的所有三位自然数m．
【答案】(1)341是“三峡数”，153不是“三峡数”，理由见解析
(2)F(352)=1
(3)所有满足条件的m是671、792
【分析】（1）根据三峡数的定义分析即可；
（2）根据F(m)=m−n99计算；
（3）根据Fm=5列出关于a、b的二元一次方程，然后根据1≤a≤9，1≤b≤9求解；
(1)
341是“三峡数”，∵3+1=4=4，∴341是“三峡数”；
153不是“三峡数”，∵1+3=4≠5，∴153不是“三峡数”；
(2)
F(352)=352−25399=9999=1；
(3)
由题知m=100a+10(a+b)+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数），
则n=100b+10(a+b)+a，
∴F(m)=m−n99=100a+10a+10b+b−100b−10a−10b−a99，
=99(a−b)99
=a−b，
则a−b=5（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数）1≤a+b≤9，
a=6b=1，a=7b=2，
m=671，792，
答：所有满足条件的m是671、792.
【点睛】本题考查了新定义，以及解二元一次方程，正确理解“三峡数”的定义是解答本题的关键．
【考点8 二元一次方程组的特殊解法】
【例8】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）数学方法：
解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【答案】(1)m=1n=−3
(2)x=4y=4
(3)x=10y=−5
【分析】（1）设m+n=x，m−n=y，即可得m+n=−2m−n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，可得m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，则问题得解．
（1）
设m+n=x，m−n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，
∴m+n=−2m−n=4，
解得m=1n=−3，
故答案为：m=1n=−3；
（2）
设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x−y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）
设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
∴m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，
解得：x=10y=−5，
故方程组的解为：x=10y=−5．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
【变式8-1】（2022·上海市复旦实验中学八年级期末）用换元法解方程组5x−6y+1=11x+2y+1=1时，可设1x=u,1y+1=v,则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为_____．
【答案】5u−6v=1u+2v=1
【分析】将1x=u,1y+1=v代入原方程组即可得．
【详解】解：将1x=u,1y+1=v代入方程组5x−6y+1=11x+2y+1=1
得：5u−6v=1u+2v=1，
故答案为：5u−6v=1u+2v=1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解题关键．
【变式8-2】（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级期末）解方程组：x+y=22①4x+y−5x−y=−2②
【答案】x=20y=2
【分析】把x+y和x−y分别作为整体，然后利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：x+y=22①4x+y−5x−y=−2②，
由①×4-②得：x−y=18③，
由①+③得：2x=40，
解得：x=20，
把x=20代入③得：20−y=18，
解得：y=2，
所以原方程组的解为x=20y=2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入思想解答是解题的关键．
【变式8-3】（2022·北京朝阳·七年级期末）阅读下列材料并填空：
（1）对于二元一次方程组4x+3y=54x+3y=36我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表4 3 541 3 36，求得一次方程组的解x=ay=b，用数可表示为1 0 a0 1 b．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
．
从而得到该方程组的解为x=__________y=__________．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组2x+3y=6x+y=2的过程．
【答案】（1）x=6y=10（2）x=0y=2
【详解】试题分析：（1）下行-上行后将下行除以3将y的系数化为1即可得到方程的解；
（2）类比（1）中方法通过加减法将x、y的系数化为1即可.
试题解析：（1）下行−上行 1 0 60 1 10，
x=6y=10．
（2）
从而得到方程组成的解为x=0y=2．
【考点9 二元一次方程组的新定义问题】
【例9】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）我们规定：m表示不超过m的最大整数，例如：3.1=3，0=0，−3.1=−4，则关于x和y的二元一次方程组x+y=3.2，x−y=3.2的解为（ ）
A．x=3.2，y=0.2B．x=2.4，y=1.2C．x=3，y=0.2D．x=3.4，y=0.2
【答案】C
【分析】根据[m]的意义可得[3.2]=3，[x]和[y]均为整数，两方程相减可求出y=0.2，[y]=0，将[y]=0代入第二个方程可求出x．
【详解】解：x+y=3.2①x−y=3.2②，
∵[m]表示不超过m的最大整数，
∴[3.2]=3，[x]和[y]均为整数，
∴x为整数，即[x]=x，
∴①－②得：y+[y]=0.2，
∴y=0.2，[y]=0，
将[y]=0代入②得：x=3，
∴x=3y=0.2．
故选：C．
【点睛】此题考查了新定义以及解二元一次方程组，解题的关键是正确理解[m]的意义．
【变式9-1】（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期末）如果一个正整数m=a²-b²(a,b均为正整数，且a≠b)我们称这个数为“平方差数”，则a,b为m的一个平方差分解，规定：F(m)=ba,例如：8=8×1=4×2，由8= a²-b²=(a−b)(a+b)，可得{a+b=8a−b=1或{a+b=4a−b=2.因为a,b为正整数，解得{a=3b=1，所以F（8）=13.试求F（45）的值为_____
【答案】23或27或2223．
【分析】根据题目的例子的形式，对所给的数进行分解，若算出来的a，b均为正整数，再求值即可.
【详解】根据题意，45=3×15=5×9=1×45，由45=a2-b2=（a+b）（a-b），可得
{a+b＝15a−b＝3或{a+b＝9a−b＝5或{a+b＝45a−b＝1．
∵a和b都为正整数，解得{a＝9b＝6或{a＝7b＝2或{a＝23b＝22
∴F（45）=23或27或2223．
故答案为23或27或2223．
【点睛】此题为阅读材料题，考查学生的自主学习能力和应变能力.
【变式9-2】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)x−y=−32.
(2){x=5y=−6.
【分析】（1）根据新定义的含义可得2x−2y=−3,从而可得答案；
（2）根据新定义的含义构建方程组{3x+2y=3−2x−3y=8,再解方程组即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴2x−2y=−3,
∴x−y=−32.
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴{3x+2y=3−2x−3y=8,
整理得：{3x+2y=3①2x+3y=−8②，
①+②得：x+y=−1，y=−x−1 ③
把③代入①得：x=5,
把x=5代入②得：y=−6,
∴{x=5y=−6.
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．
【变式9-3】（2022·江苏南通·七年级期末）定义：数对x,y经过一种运算可以得到数对x',y'，将该运算记作：
dx,y=x',y'，其中x'=ax+byy'=ax−by（a，b为常数）．
例如，当a=1，b=1时，d−2,3=1,−5．
(1)当a=2，b=1时，d3,1=__________；
(2)若d−3,5=−1,9，求a和b的值；
(3)如果组成数对x,y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx,y=−x,−y，则a=__________，b=__________．
【答案】(1)7,5；
(2)a=−43b=−1
(3)−23；-1
【分析】（1）根据新定义运算进行计算即可求解；
（2）根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（3）根据题意可得x=3y，然后根据新定义运算列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
（1）
解：依题意，当a=2，b=1时，
x'=2×3+1×1=7,y'=2×3−1×1=5
∴ d3,1= 7,5
（2）
∵d−3,5=−1,9，
∴−3a+5b=−1−3a−5b=9，
解得a=−43b=−1．
∴a和b的值分别为−43，-1；
（3）
∵x−3y=0
∴ x=3y
∴ dx,y=−x,−y=−3y,−y
∴−3y=−3ya+by−y=−3ya−by
即−3=−3a+b−1=−3a−b
解得a=23b=−1
故答案为：−23；-1．
【点睛】本题考查了新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键．
【考点10 二元一次方程（组）的规律探究】
【例10】（2022秋·四川成都·七年级统考期末）相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则a+b的值为（ ）
A．2B．−2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，得到a+12+−2=10+4+−2b+12+4=10+4+−2，由此求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：∵每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，
∴a+12+−2=10+4+−2b+12+4=10+4+−2，
∴a=2b=−4，
∴a+b=2+−4=−2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够根据题意求出a、b的值．
【变式10-1】（2022春·北京石景山·七年级统考期末）下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【答案】{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，{x=2ny=−2n+1
【详解】试题分析：仔细分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从-2开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从-1开始的连续负奇数，根据得到的规律求解即可.
解：由题意得第n个方程组为{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，它的解为{x=2ny=−2n+1（n为正整数）.
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.
【变式10-2】（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s，n为未知数的二元一次方程为______．
【答案】s=3(n-1)
【详解】根据图片可知：
第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s=3×2-3；
第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s=3×3-3；
第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s=3×4-3；
…
所以s=3n-3=3（n﹣1）．
【点睛】本题要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．
【变式10-3】（2022秋·湖北省直辖县级单位·七年级统考期中）观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a+b﹣m＝_____．
【答案】﹣7
【分析】由表二结合表一即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；由表三结合表一即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b值；在表三中设42为第x行y列，则75为第（x+1）行（y+2）列，结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m的值，将a、b、m的值代入a-b+m即可得出结论．
【详解】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，
∴a-15=15-12，解得：a=18；
表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，
∴42-b-1=36-30，解得：b=35；
表四截取的是两行三列的相邻的六个数字：设42为第x行y列，则75为第（x+1）行（y+2）列，
则有 xy＝42x+1y+2＝75，
解得：x＝14y＝3 或 x＝32y＝28（舍去），
∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．
∴a+b﹣m=18+35-60=-7．
故答案为-7
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，规律型：数字变化类，根据表一中数的排列特点通过解方程（或方程组）求出a、b、m的值是解题关键．
【考点11 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例11】（2022秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）阅读下列材料，回答问题．
对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为Fn．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，因为666÷111=6，所以F123=6．
(1)计算：F341= ，F625= ；
(2)若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y，1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数，规定k=Fs−Ft，当Fs+Ft=19时，求k的最小值．
【答案】(1)8，13
(2)k的最小值为−7
【分析】（1）根据F(n)的定义式，分别将n=341和n=625代入F(n)中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F(s)+F(t)=19，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F(n)的定义式，即可求出F(s)、F(t)的值，将其代入k=Fs−Ft中，找出最小值即可.
【详解】（1）F(341)=(431+143+314)÷111=8；
F(625)=(265+526+652)÷111=13．
故答案为：8，13；
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F(s)=(302+10x+230+x+100x+23)÷111=x+5，
F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)÷111=y+6．
∵F(t)+F(s)=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=19，
∴x+y=8．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ x=1y=7或x=2y=6或x=3y=5或x=4y=4或x=5y=3或x=6y=2或x=7y=1．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3，y≠1，y≠5．
∴x=1y=7或x=4y=4或x=5y=3或x=6y=2
∴Fs=6Ft=13或Fs=9Ft=10或Fs=10Ft=9或Fs=11Ft=8，
∴k=Fs−Ft =6−13=−7或k=Fs−Ft=9−10=−1或k=Fs−Ft=10−9=1或k=Fs−Ft=11−8=3，
∴k的最小值为−7．
【点睛】本题属于材料阅读题，考查代数以及二元一次方程中不定方程的应用，读懂题干所给的定义和分析解决二元一次方程是解题的关键．
【变式11-1】（2022春·广西南宁·七年级统考期末）【阅读理解】我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例如：由2x+3y＝12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．
要使y=4−23x为正整数，则23x为正数可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y=4−23x=2．
所以2x+3y＝12的正整数解为x=3y=2．
(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y＝8的正整数解．
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法？
【答案】(1)x=2y=1
(2)共有3种截法
【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）设截成2米长的x段，截成3米长的y段，则根据题意得：2x＋3y＝20，其中x、y均为自然数，解该二元一次方程即可．
【详解】（1）解：由3x+2y=8，得：y=8−3x2=4−32x（x，y为正整数），
要使y=4−32x为正整数，则32x为整数可知：x为2的倍数，
从而x=2，代入y=4−32x=1，
所以方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1．
（2）解：设截成2米长的钢管x段，3米长的钢管y段，
依题意，得：2x+3y=20，
∴x=10−32y，
又∵x，y均为正整数，
∴x=7y=2，x=4y=4，x=1y=6，
∴共有3种截法．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
【变式11-2】（2022春·重庆·八年级重庆八中校考期末）阅读以下材料，并利用材料知识解决问题．
材料一：如果实数a，b满足ab−1=6−2b，那么就称a和b是一组“创意数对”，用有序数对a,b表示．例如：由于1×73−1=6−2×73，所以1,73是“创意数对”．
材料二：任何一个自然数M都能分解成两个因数的乘积：M=A×B，对于M的所有分解，当A−B最小时，我们称此分解为M的“和值分解”，并记FM=A+B．例如：对于18=1×18=2×9=3×6，∵3−6