专题13.7 期末专项复习之证明十六大必考点-最新苏教版七年级下册数学精讲精练

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1、注重生活联系，形式活泼多样。初中生的数学思维能力正逐步由直观形象思维向抽象思维发展。这个发展需要一定的过程。
2、注重动手操作，引导学生“做”数学。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索与合作交流也是学习数学的重要方法。
3、注重“过程”和数学思想方法。新教材通过让学生亲身经历知识的形成过程，使学生的学习过程更多地成为其发现数学、了解数学、体验数学的过程。
专题13.7 证明十六大必考点
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32048" 【考点1 根据平行线的判定与性质进行证明】 PAGEREF _Tc32048 \h 1
\l "_Tc5924" 【考点2 直线旋转中的平行线的判定】 PAGEREF _Tc5924 \h 8
\l "_Tc29357" 【考点3 与垂线有关的角度计算或证明】 PAGEREF _Tc29357 \h 11
\l "_Tc31055" 【考点4 利用平行线的判定与性质计算角度】 PAGEREF _Tc31055 \h 15
\l "_Tc6502" 【考点5 平行线的性质在生活中的应用】 PAGEREF _Tc6502 \h 21
\l "_Tc24094" 【考点6 利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc24094 \h 27
\l "_Tc7725" 【考点7 平行线的运用（单一辅助线）】 PAGEREF _Tc7725 \h 34
\l "_Tc31690" 【考点8 平行线的运用（多条辅助线）】 PAGEREF _Tc31690 \h 41
\l "_Tc28743" 【考点9 平行线在折叠问题的运用】 PAGEREF _Tc28743 \h 51
\l "_Tc30408" 【考点10 平行线在三角尺中的运用】 PAGEREF _Tc30408 \h 55
\l "_Tc21384" 【考点11 平行线中的规律问题】 PAGEREF _Tc21384 \h 60
\l "_Tc22510" 【考点12 平行线中的转角问题】 PAGEREF _Tc22510 \h 69
\l "_Tc30848" 【考点13 与角平分线有关的三角形内角和问题】 PAGEREF _Tc30848 \h 76
\l "_Tc21611" 【考点14 利用平行线的判定与性质证明三角形中角度关系】 PAGEREF _Tc21611 \h 84
\l "_Tc29431" 【考点15 与平行线有关的三角形内角和问题】 PAGEREF _Tc29431 \h 90
\l "_Tc32477" 【考点16与折叠有关的三角形内角和问题】 PAGEREF _Tc32477 \h 100
【考点1 根据平行线的判定与性质进行证明】
【例1】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴______∥______（________________________）．
∴∠A=∠BED（_____________________________）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴______∥______（__________________________）．
∴∠B=∠C（______________________________）．
【答案】DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】先通过已知条件证明DE∥AF，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠C．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），
∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式1-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，HN是∠DHG的平分线．
(1)如果GM是∠BGE的平分线，（如图①）试判断并证明GM和HN的位置关系；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BGE＝______（两直线平行，同位角相等．）
∵GM是∠BGE的平分线，
∴______＝______=12∠BGE
∵HN是∠DHG的平分线
∴______＝______=12∠DHG
∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）
∴GM和HN的位置关系是______，（___________________）．
(2)如果GM是∠AGH的平分线，（如图②）（1）中的结论还成立吗？（不必证明）
(3)如果GM是∠BGH的平分线，（如图③）（1）中的结论还成立吗？如果不成立，GM与HN又有怎样的位置关系？请直接写出你的猜想不必证明．
【答案】(1)∠DHG；∠BGM；∠MGE；∠DHN；∠NHG；GM∥HN；同位角相等，两直线平行；
(2)成立
(3)不成立，GM⊥HN．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BGE=∠DHG，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠MGE=∠NHG，再利用平行线的判定即可；
（2）根据平行线的性质可得∠AGH=∠DHG，，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM=∠NHG，再利用平行线的判定即可；
（3）设GM与HN交于点P，根据平行线的性质可得∠BGH+∠DHG=180°，再利用角平分线的定义和等量代换可得∠HGM+∠NHG=90°，然后利用三角形内角和定理可求出∠GPH=90°即可解答．
（1）证明：∵AB∥CD∴∠BGE＝∠DHG（两直线平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分线，∴∠BGM＝∠MGE＝12∠BGE∵HN是∠DHG的平分线∴∠DHN＝∠NHG＝12∠DHG∴∠MGE＝∠NHG（等量代换）∴GM和HN的位置关系是GM∥HN（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵GM是∠AGH的平分线，∴∠AGM= ∠HGM=∠AGH，∵HN是∠DHG的平分线，∴∠GHN=∠DHN=∠DHG，∴∠HGM=∠NHG（等量代换）∴GM∥HN．
（3）（3）（1）中的结论不成立，GM⊥HN，理由：如图：设GM与HN交于点P，∵AB∥CD，∴∠BGH+∠DHG=180°，∵GM是∠BGH的平分线，∴∠BGM= ∠HGM=12∠BGH，∵HN是∠DHG的平分线，∴∠GHN=∠DHN=12∠DHG，∴∠HGM+ ∠NHG=12∠BGH+12∠DHG=90°，∴∠GPH=180°-（∠HGM+ ∠NHG）=90°∴GM⊥HN．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
【变式1-2】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下结论：①AB∥EF；②2∠1−∠4=90°；③2∠3−∠2=180°；④∠3+12∠4=135°，其中，正确的结论有____．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2=180°，
∴2∠1+∠2=180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4=90°（2），
∴（1）-（2）得，2∠1-∠4=90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3=180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠BAE，
∴∠1+∠3=180°，
∴2∠1+2∠3=360°（3），
∵2∠1+∠2=180°（1），
（3）-（1）得，2∠3-∠2=180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4=180°，
∴∠3+∠AEC+∠4=180°，
∵AE⊥CE，
∴∠1+∠AEC=90°，
∴∠AEC=90°-∠1，
∴∠3+∠4-∠1=90°，
∵2∠1-∠4=90°，
∴∠1=45°+12∠4，
∴∠3+12∠4=135°，故④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【变式1-3】（2022·广东·广州市第四中学七年级期末）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)如图2，点E在线段AD上，点G在线段AD的延长线上，连接BG，∠AEB＝2∠G，求证：BG是∠EBC的平分线；
(3)如图3，在(2)的条件下，点E在线段AD的延长线上，∠EDC的平分线DH交BG于点H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)57°
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，进而推出∠C+∠B=180°，即可证明AB∥CD，得到∠A+∠D=180°，据此即可证明结论；
（2）先由平行线的性质得到∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，进而推出∠EBG=∠CBG=∠G，即可证明BG是∠EBC的平分线；
（3）设∠GDH=∠HDC=α，设∠EBG=∠CBG=β，根据平行线的性质推出66°+2β+2α=180°，则α+β=57°，过点H作HP∥AB交AG于P，得到∠PHB+∠ABH=180°，推出∠DHP=∠HDC=α，则∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°即α+∠BHD+66°+β=180°，∠BHD=57°；
（1）
解：∵ AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠B=∠D；
（2）
解：∵ AD∥BC，
∴∠CBG=∠G，∠AEB=∠CBE，
∵∠AEB=2∠G，
∴∠CBE=2∠G，
∴∠EBG+∠CBG=2∠G，
∴∠EBG=∠CBG=∠G，
∴BG是∠EBC的平分线；
（3）
解：∵ DH是∠GDC的平分线，
∴∠GDH=∠HDC，
设∠GDH=∠HDC=α，
∵AD∥BC，
∴∠BCD=∠GDC=2α，
设∠EBG=∠CBG=β，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠BCD=180°，
∴66°+2β+2α=180°，
∴α+β=57°，
过点H作HP∥AB交AG于P，
∴∠PHB+∠ABH=180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥HP，
∴∠DHP=∠HDC=α，
∴∠DHP+∠BHD+∠ABE+∠GBE=180°
即α+∠BHD+66°+β=180°，
∴∠BHD=57°；
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
【考点2 直线旋转中的平行线的判定】
【例2】（2022·河南洛阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=28°，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可以转动的角度为（ ）
A．28°B．56°C．62°D．84°
【答案】B
【分析】此题可以构造平行线，根据平行线的性质进行分析计算．
【详解】解：如图所示，
过点O作DE∥AC，
则有∠1=∠OAC=28°
而∠2=∠1，
所以，上下最大可以转动的角度为∠2=∠1=56°．
故选：B．
【点睛】本题是一道生活问题，将其转化为关于平行线的问题，解题关键是利用“两直线平行,同位角相等”解答．
【变式2-1】（2022·山东临沂·七年级期末）如图将木条a，b与c钉在一起，∠1=75°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，∠1=75°，∠AOB=35°，
∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°，
当∠2=∠AOB时，a∥b，
∴∠2=40°，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
【变式2-2】（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（
A．15°B．30°C．45°D．75°
【答案】A
【分析】过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，则可求出答案．
【详解】解：过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，
∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，
∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，
∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式2-3】（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线l1∥l2，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点B放在直线l2上，将三角板绕点B旋转，使直角顶点C落在l1与l2之间的区域，边AC与直角l1相交于点D，若∠1=35°，则图中的∠2的值为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．80°
【答案】A
【分析】过A作CE∥l1，得到CE∥l1∥l2，根据平行线的性质得出∠3，进而求得∠4，再根据平行线的性质可求出答案．
【详解】解：过C作CE∥l1，
∵l1∥l2，
∴CE∥l1∥l2，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠4=90°-∠3=55°，
∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．
故选：A．
【点睛】题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
【考点3 与垂线有关的角度计算或证明】
【例3】（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）如图，已知∠1=∠C，∠2=∠3，FG⊥AC于G，你能说明BD与AC互相垂直吗？
【答案】见解析
【分析】根据∠1＝∠C，得ED∥BC，所以∠2＝∠DBC，再由∠2＝∠3，得∠DBC＝∠3，所以BD∥FG，即可得FG⊥AC．
【详解】证明：∵∠1=∠C，
∴ ED∥BC，
∴∠2=∠DBC，
∵∠2=∠3，
∴∠DBC=∠3
∴BD∥FG，
∵FG⊥AC，
∴BD⊥AC．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质及判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【变式3-1】（2022·安徽合肥·七年级期末）请补充完整下列推理过程及证明过程中的依据．
如图，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．试证明：AD⊥BC．
解：因为DG//BA（已知），
所以∠2=∠BAD（____________）．
因为∠1=∠2（已知），
所以______（等量代换），
所以EF//______（____________）．
所以∠EFB=______（两直线平行，同位角相等）
因为EF⊥BC（已知），
所以∠EFB=90°（____________）．
所以∠ADF=90°（等量代换），
所以______（垂直的定义）．
【答案】两直线平行，内错角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，两直线平行；∠ADB；垂直的定义；AD⊥BC
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：因为DG//BA（已知），
所以∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
因为∠1=∠2（已知），
所以∠1=∠BAD（等量代换），
所以EF//AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠EFB=∠ADB（两直线平行，同位角相等），
因为EF⊥BC（已知），
所以∠EFB=90°（垂直的定义），
所以∠ADF=90°（等量代换），
所以AD⊥BC（垂直的定义），
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠1=∠BAD；AD；同位角相等，两直线平行；∠ADB；垂直的定义；AD⊥BC．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
【变式3-2】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，AB⊥AC，垂足为A，∠1=30°，∠B=60°．
（1）AD与BC平行吗？为什么？
（2）根据题中的条件，能判断AB与CD平行吗？如果能，请说明理由：如果不能，添加一个条件，使它们平行（不必说明理由）．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）不能，可添加CD⊥AC．
【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理，即可得到结论．
【详解】（1）平行．理由如下：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠1=120°．
∵∠B=60°，
∴∠B+∠BAD=60°+120°=180°，
∴AD∥BC；
（2）不能判断AB与CD平行，添加CD⊥AC即可判断AB与CD平行．
∵ AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键．
【变式3-3】（2022·全国·七年级）已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．
(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；
(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠DGF=180°-12α，理由见解析
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．②过点C作CT∥MN．利用平行线的性质和判定以及垂线的性质解决问题．
（2）∠DGF=180°-12α．利用（1）中基本结论可得∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，再利用角平分线的定义及邻补角的性质即可求解．
(1)
解：①图形如图所示．
②证明：过点C作CT∥MN．
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∵CT∥MN，MN∥PQ，
∴CT∥MN∥PQ，
∴∠ADC=∠DCT，∠BEC=∠ECT，
∴∠ADC+∠BEC=∠DCT+∠ECT=∠ECD=90°．
(2)
解：∠DGF=180°-12α，理由如下：
如图，
由（1）的结论可知：∠ADC+∠BFC=∠DCF=α，∠GDN+∠GFQ=∠DGF，
∵DG平分∠NDC，GF平分∠CFQ，
∴∠GDN=12∠CDN，∠GFQ=12∠CFQ，
∴∠DGF=12（∠CDN+∠CFQ）=12（180°-∠ADC+180°-∠BFC）=12（360°-∠DCF）=180°-12α．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【考点4 利用平行线的判定与性质计算角度】
【例4】（2022·福建福州·七年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．
(1)判断DE与BC的位置关系，并证明；
(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)62∘
【分析】（1）由∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180∘，得到∠1=∠DOE，则BD∥EF，∴ ∠B=∠EFC，由∠B=∠3，∠3=∠EFC，即可证明DE∥BC；
（2）由（1）的结论得到∠3=∠EFC，则∠AEF=118∘，再由同旁内角的性质得到∠A的度数即可．
（1）
∵ ∠1+∠2=180°，∠2+∠DOE=180∘，
∴ ∠1=∠DOE，
∴ BD∥EF，
∴ ∠B=∠EFC，
∵ ∠B=∠3，
∴ ∠3=∠EFC，
∴ DE∥BC．
（2）
由（1）知： ∠3=∠EFC
∵ ∠AED+∠EFC=118°
∴ ∠3+∠AED=∠AEF=118∘
由（1）知BD∥EF,
且∠AEF、∠A互为同旁内角，
∴∠AEF+∠A=180∘，
∴∠A=180∘−∠AEF=180∘−118∘=72∘
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定式关键．
【变式4-1】（2022·河南漯河·七年级期末）已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．
(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
(2)判断BE与CD的位置关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)45°
(2)BE∥CD；证明见解析
【分析】（1）根据∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，从而得到∠EDC+∠C=180°，结合∠EDC＝3∠C，代入计算即可．
（2）根据∠A＝∠ADE，得到DE∥AC，从而得到∠E=∠ABE，结合∠C＝∠E，得到∠ABE=∠C，得到BE∥CD．
（1）
∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠EDC+∠C=180°，
∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C=180°，
∴∠C=45°．
（2）
BE与CD的位置关系是BE∥CD．理由如下：
∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠E=∠ABE，
∵∠C＝∠E，
∴∠ABE=∠C，
∴BE∥CD．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·广东湛江·七年级期末）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，根据上述条件，解答下列问题：
(1)证明：OC∥AB；
(2)求∠EOB的度数；
(3)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠EOB=35°
(3)不变，∠OBC:∠OFC=1:2．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠COA，再根据∠COA+∠OAB=180∘，可得OC∥AB；
（2）根据∠FOB=∠AOB， OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA ，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA,∠OFC=∠FOA，再根据∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB ，即可得出答案．
（1）
∵CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，
∴∠COA=180°−∠C=180°−110°=70°，
∴∠COA+∠OAB=180°，
∴OC∥AB；
（2）
∵∠FOB=∠AOB，
∴OB平分∠AOF，
又OE平分∠COF，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA=12×70°=35°；
（3）
不变．
∵CB∥OA，
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA，
又∵∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，
∴∠OBC:∠OFC=∠AOB:∠FOA=∠AOB:2∠AOB=1:2．
【点睛】本题考查平行线、角平分线的性质及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清各角间的关系时解题关键．
【变式4-3】（2022·北京密云·七年级期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当∠AOB=α0°