2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市高二上学期第一次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市高二上学期第一次月考数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
2．已知集合P=，，则PQ=（ ）
A．B．
C．D．
3．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ）
A．10，12B．10，14C．4，3D．6，3
4．已知，则（ ）
A．2B．C．3D．
5．高一（1）班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大排序结果如下：
51 54 59 60 64 68 68 70 71 72
72 74 75 76 79 80 80 81 82 83
85 87 88 90 91 92 93 95 98 100
则估计这次数学考试成绩的第75百分位数为（ ）
A．87B．88C．90D．87.5
6．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是、、采用分层抽样的方法抽取人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（ ）
A．B．
C．D．
7．我国某城市2019年4月的空气质量状况统计如下表所示:
当时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市2019年4月空气质量达到良或优的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，若，，，四点共面，则（ ）
A．3B．C．7D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）
A．A与B是互斥事件但不是对立事件
B．A与C是互斥事件也是对立事件
C．A与D是互斥事件
D．C与D不是对立事件也不是互斥事件
10．关于统计数据的分析，则以下结论中错误的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化
B．绘制频率分布直方图时，各小矩形的面积等于相应各组的组距
C．一组数据的方差一定是正数
D．如图是随机抽取的辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在的汽车大约是辆
11．已知一组样本数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A．该样本数据的第60百分位数为
B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数
C．剔除某个数据（，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D．若，，…，的均值为2，方差为1，，，…，的均值为6，方差为2，则，，…，的方差为5
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，分别是直线的方向向量，若，则 ．
13．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为 .
14．已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，求的面积．
16．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：

（1）分别求出的值，并补全频率分布直方图；
（2）估计这次环保知识竞赛平均分；
（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？
17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
19．在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
(2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
答案
1．【正确答案】B
【分析】先由等式，反解出，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可.
【详解】由已知，得，
所以z的虚部为1.
故选：B.
2．【正确答案】B
【分析】根据集合交集定义求解.
【详解】.
故选B.
3．【正确答案】A
【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.
【详解】因为一组数据的平均数为4，方差为3，
所以数据的平均数为，方差为.
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】因为，
所以.
故选：C.
5．【正确答案】B
【分析】
根据百分位数的概念，结合题中数据，即可得出结果.
【详解】
由，可知样本的第75百分位数为第23项数据，
据此估计这次数学考试成绩的第75百分位数为88.
故选：B.
6．【正确答案】A
先求出抽样比，再计算从高三年级中应抽取的人数.
【详解】抽样比为：，
高三年级的人数是人，
故选：A
7．【正确答案】A
【详解】由表知，4月空气质量达到良或优的有
故概率为
故选：A
8．【正确答案】C
【详解】因为，，，四点共面，
所以，，共面，设，
因为，，，
所以，
则，解得．
故选：C.
9．【正确答案】ABD
【分析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.
【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,
“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,
在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；
在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；
在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
故选：ABD.
本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题.
10．【正确答案】BC
【详解】A选项，∵方差反映一组数据的波动大小，∴整体变化不改变波动大小，
∴将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变，对，
B选项，频率分布直方图中，各小矩形的面积等于相应各组的频率，错，
C选项，由得出方差是非负数，错，
D选项，根据频率分布直方图得，时速在的汽车大约是（辆），对，
故选：BC.
11．【正确答案】BC
【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断C，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断B；由方差计算公式即可判断D.
【详解】对于A，由，所以样本数据的第60百分位数为，故A错误；
对于B，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，
由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故B正确；
对于C，剔除某个数据（，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C正确；
对于D，由，则，
所以则，，…，的方差为，故D错误.
故选：BC.
12．【正确答案】18
【详解】，
，
所以存在实数，使得，
则，解得，，.
.
故18.
13．【正确答案】
【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率.
【详解】由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，
则至少取得一个红球的概率为.
故答案为.
14．【正确答案】/0.68
【分析】找出基本事件总数和满足条件的基本事件数，根据古典概型公式求解即可.
【详解】由题，甲袋中共有10个球，乙袋中共有10个球，
则从两袋中各取一球，基本事件总数为，
取出的2个球颜色不同，可能为：（甲白，乙红），（甲白，乙黑），（甲红，乙白），（甲红，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙红），
则2个球颜色不同的基本事件数为，
所以，
故
15．【正确答案】（1）； （2）.
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解；
（2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以.
（2）因为，，
由余弦定理可得，整理得，
又，解得，
所以.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
16．【正确答案】（1），，，（2）70.5（3）0.75
【详解】
（1），，，
（2）用组中值估计平均分：
（3）本次竞赛及格率为：，
用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同， ∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为．
考点：（1）互斥事件的概率加法公式（2）频率分布表
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，，利用、得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可.
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有，，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、、，
则有、、，
设平面的法向量分别为，
则有，取，
则有，
即点到平面的距离为.
18．【正确答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．
【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】(1)第六组的频率为，
所以第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由，得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的人数为4，设为a，b，c，d，
第八组的人数为，设为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
19．【正确答案】(1)4
(2)；平均数为71；中位数为
(3)
【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案；
（2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解；
（3）独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】（1）从图中可知组距为，则的频率分别为,
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时,
成绩不高于50分的人数为（人）.
（2）由图可知，解得.
使用组中值与频率可估计平均数为
.
因为且，
所以中位数在内，
设估计的中位数为，则，得.
（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件，，，则
三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于
.污染指数
30
60
100
110
130
140
天数
3
5
10
7
4
1
分组
人数
频率
[39．5,49．5）
a
0.10
[49．5,59．5）
9
x
[59．5,69．5）
b
0.15
[69．5,79．5）
18
0.30
[79．5,89．5）
15
y
[89．5,99．5]
3
0.05