2024-2025学年宁夏回族自治区高一上学期第二次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年宁夏回族自治区高一上学期第二次月考数学检测试卷（附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈R|lg2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（﹣1，3）C．（0，4）D．（﹣∞，3）
2．（5分）用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）•f（4）＜0，取区间的中点x1＝＝3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0满足（ ）
A．x0＝x1B．x0＞x1C．2＜x0＜3D．x0＜2
3．（5分）关于x的不等式x2﹣ax﹣b﹣1≤0的解集是[﹣2，5]，那么lgab＝（ ）
A．1B．3C．2D．
4．（5分）已知，，，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a
5．（5分）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）函数f（x）＝lg2（|x|﹣1）的图像为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝3，对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，则关于x的不等式（x+2）f（x+2）＜9的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣5，1）
C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
8．（5分）设函数，则函数y＝f（f（x）﹣1）﹣1的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）
B．若am＞an（a＞0且a≠1），则m＞n
C．已知函数，则方程的实数解为x＝ln3
D．对任意x∈R，都有3x＞2x
（多选）10．（6分）下列说法不正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1）
B．
C．“﹣5＜x＜8”是“|x|＜5”的充分不必要条件
D．函数没有最小值
（多选）11．（6分）已知函数，且f（a）＝f（b）＝f（d）＜f（c），则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．c≥1
C．2ad＜5
D．2a+2b+2d的取值范围为（18，34）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若，则实数a的取值范围为 ．
13．（5分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．
14．（5分）已知函数，则g（3）+g（﹣3）＝ ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）计算下列各值：
（1）；
（2）．
16．（15分）已知函数f（x）＝lg2（1﹣x）﹣lg2（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）＝x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为的区间（a，b），使x0∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度＝b﹣a）．
17．（15分）已知函数f（x）＝m•9x﹣3x+1﹣m．
（1）当时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．
18．（17分）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i）函数的部分图象接近图示；
（ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分；
（iiii）每天最多得分不超过100分．
现有以下三个函数模型供选择：
①y＝kx+m（k＞0）；
②；
③．
（1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；
（3）已知学校要求每天的得分不少于75分，求每天至少阅读多少分钟？
19．（17分）设f（x）＝lgag（x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）若，且满足f（x）＞1，求x的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）＝ax2﹣x，是否存在a使得f（x）在区间[，3]上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．
（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：
p＝x0＜x1＜…＜xi﹣1＜xi＜…＜xn＝q
将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x1）﹣m（x0）|+|m（x2）﹣m（x1）|+…+|m（xi）﹣m（xi﹣1）|+…+|m（xn）﹣m（xn﹣1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）＝是否为在[，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．
答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈R|lg2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（0，3）B．（﹣1，3）C．（0，4）D．（﹣∞，3）
【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x∈R|lg2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，
集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）•f（4）＜0，取区间的中点x1＝＝3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0满足（ ）
A．x0＝x1B．x0＞x1C．2＜x0＜3D．x0＜2
【分析】在解答时，要充分利用条件所给的计算结果，结合二分法的分析规律即可获得问题的解答．
解：由题意可知：对于函数y＝f（x）在区间[2，4]上，
有f（2）•f（4）＜0，
利用函数的零点存在性定理，
所以函数在（2，4）上有零点，
取区间的中点x1＝＝3，
∵计算得f（2）•f（3）＜0，
∴利用函数的零点存在性定理，函数在（2，3）上有零点，
∴x0∈（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题，属于基础题．
3．（5分）关于x的不等式x2﹣ax﹣b﹣1≤0的解集是[﹣2，5]，那么lgab＝（ ）
A．1B．3C．2D．
【分析】由题意可知﹣2和5是方程x2﹣ax﹣b﹣1＝0的两个根，由韦达定理求出a，b的值，再利用对数的运算性质求解即可．
解：因为关于x的不等式x2﹣ax﹣b﹣1≤0的解集是[﹣2，5]，
所以﹣2和5是方程x2﹣ax﹣b﹣1＝0的两个根，
由韦达定理可得，
解得，
所以lgab＝lg39＝＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
4．（5分）已知，，，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【分析】利用对数函数的单调性及作差法比较三个数的大小即可．
解：∵e2＜2.82＜8，
∴a﹣c＝﹣＝＝＜0，
∴a＜c；
∵b﹣c＝﹣＝＝＞0，
∴b＞c，
∴b＞c＞a，
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小比较的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．
5．（5分）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定．
解：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，
故“小故”是逻辑中的必要不充分条件，
所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）＝lg2（|x|﹣1）的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
解：由|x|﹣1＞0得x＞1或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），排除B，C，
f（﹣x）＝lg2（|﹣x|﹣1）＝lg2（|x|﹣1）＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝3，对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，则关于x的不等式（x+2）f（x+2）＜9的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣5，1）
C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】由题意可得函数在[0，+∞）单调递增，再由奇函数的性质可得函数在R上，单调递增，再由题意将9化成3f（3），由单调性可得不等式﹣3＜x+2＜3，进而求出不等式的解集．
解：对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
因为f（3）＝3，又函数为奇函数，所以函数在R上为增函数，
设g（x）＝xf（x），则g（x）为偶函数，且在[0，+∞）递增，
所以不等式可得（x+2）f（x+2）＜9＝3f（3），
即g（x+2）＜g（3），可得﹣3＜x+2＜3，解得﹣5＜x＜1，
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．
8．（5分）设函数，则函数y＝f（f（x）﹣1）﹣1的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】利用换元法，t＝f（x）﹣1，先解出f（t）﹣1＝0时t的值，然后再根据y＝f（x）的图象，判断f（x）＝t+1时，x的个数．
解：令t＝f（x）﹣1，则由f（t）﹣1＝0即f（t）＝1解得t＝﹣2或0或e，
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x），y＝﹣1，y＝1，y＝e+1的图象如图所示，
由图象可知y＝f（x）与y＝﹣1有1个交点，即f（x）﹣1＝﹣2有1个根，
y＝f（x）与y＝1有3个交点，即f（x）﹣1＝0有3个根，
y＝f（x）与y＝e+1有2个交点，即f（x）﹣1＝e有2个根，
所以函数y＝f（f（x）﹣1）﹣1的零点个数为1+3+2＝6个，
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数的零点与数形结合思想，属于中档题．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）
B．若am＞an（a＞0且a≠1），则m＞n
C．已知函数，则方程的实数解为x＝ln3
D．对任意x∈R，都有3x＞2x
【分析】令x＝2可判断A；当0＜a＜1时可判断B；令可得ex＝3，从而可判断C；当x＜0时可判断D．
对于A，令x＝2，可得f（2）＝a0﹣3＝﹣2，故函数f（x）的图象必过定点（2，﹣2），故A正确；
对于B，若0＜a＜1，函数y＝ax单调递减，由 am＞an可得m＜n，故B错误；
对于C，令，可得ex＝3，解得x＝ln3，故C正确；
对于D，当x＝0时，D显然错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于中档题．
（多选）10．（6分）下列说法不正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1）
B．
C．“﹣5＜x＜8”是“|x|＜5”的充分不必要条件
D．函数没有最小值
【分析】根据定义域即可判断A；
根据指数幂的运算可判断B；
根据必要条件的定义可判断C；
结合奇函数的性质及基本不等式，求出函数的值域，即可判断D．
解：对于A，当x＝0时，有x2﹣2x＝0，
所以的定义域不包含0，
从而（﹣∞，1）不可能是单调递减区间，故A错误；
对于B，有，故B正确；
对于C，由|x|＜5，可得﹣5＜x＜5，
又因为（﹣5，5）⊆（﹣5，8），
所以“﹣5＜x＜8”是“|x|＜5”的必要不充分条件，故C错误；
对于D，易知y＝x+为奇函数，
当x＞0时，y＝x+≥2＝4，当x＝2时，等号成立；
所以当x＜0时，y＝x+≤﹣4，当x＝﹣2时，等号成立；
所以函数y＝x+的值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），
所以函数f（x）没有最小值，故D正确．
故选：AC．
【点评】本题考查了对数函数的性质、指数幂的基本运算、必要不充分条件的定义及奇函数的性质，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数，且f（a）＝f（b）＝f（d）＜f（c），则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．c≥1
C．2ad＜5
D．2a+2b+2d的取值范围为（18，34）
【分析】作出函数图象，结合图象可得a，b，d的范围，再由2a＝d﹣4，2b＝6﹣d，即可求得2ad和2a+2b+2d的范围．
解：作出函数f（x）的图象：
根据图象可知，a＜0，0＜b＜1，4＜d＜5，根据b＜c得不出c≥1，所以选项A正确，选项B错误；
由于|2a﹣1|＝5﹣d，因此1﹣2a＝5﹣d，因此2a＝d﹣4，所以2ad＝d（d﹣4）＝d2﹣4d，
由于4＜d＜5，因此g（d）＝d2﹣4d在（4，5）上单调递增，因此d2﹣4d＜g（5）＝5，所以选项C正确；
由于2b﹣1＝5﹣d，因此2b＝6﹣d，因此2a+2b+2d＝d﹣4+6﹣d+2d＝2+2d，
y＝2+2d在（4，5）上单调递增，因此2+2d∈（18，34），所以选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数与方程综合应用，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若，则实数a的取值范围为 {a|a} ．
【分析】由已知结合根式的意义即可求解．
解：若＝1﹣3a，
则3a﹣1≤0，即a．
故{a|a}．
【点评】本题主要考查了根式的意义，属于基础题．
13．（5分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 7 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．
【分析】设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，根据题意可得（1﹣10%）n＜0.5，求解即可得出答案．
解：设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，
则（1﹣10%）n＜0.5，即，
∴，即，解得，
故至少需要将7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，
故7．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（5分）已知函数，则g（3）+g（﹣3）＝ 6 ．
【分析】根据已知条件得到g（﹣x）+g（x）＝6，进而求解结论．
解：∵函数的定义域为R，
且g（﹣x）+g（x）＝+ln（﹣x）++ln（+x）＝++ln[（x2+1）﹣x2]＝6+ln1＝6，
∴g（3）+g（﹣3）＝6．
故6．
【点评】本题主要考查函数性质的应用以及计算能力，属于基础题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）计算下列各值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合换底公式运算求解即可．
解：（1）原式＝（）﹣1﹣（）+（）2
＝﹣1﹣+
＝；
（2）原式＝
＝．
【点评】本题主要考查了指数及对数运算性质的应用，属于基础题．
16．（15分）已知函数f（x）＝lg2（1﹣x）﹣lg2（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）＝x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为的区间（a，b），使x0∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度＝b﹣a）．
【分析】（1）根据对数的定义可知负数和0没有对数，列出关于x的不等式组，求出解集即可；
（2）要判断函数的奇偶性即求出f（﹣x），判断f（﹣x）与f（x）的关系可得；
（3）把f（x）的解析式代入到方程中利用对数的运算性质及对数的定义化简得到g（x）＝0，然后在（﹣1，1）上取几个特殊值﹣，0，﹣，代入g（x）求出值判断任意两个乘积的正负即可知道之间是否有根．
解：（1）要使函数有意义，则，
∴﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）
（2）∵f（﹣x）＝lg2（1+x）﹣lg2（1﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）由题意知方程f（x）＝x+1⇔lg2（1﹣x）﹣lg2（1+x）＝x+1，可化为（x+1）2x+1+x﹣1＝0
设g（x）＝（x+1）2x+1+x﹣1，x∈（﹣1，1）
则，g（0）＝2﹣1＝1＞0，
所以，故方程在上必有根；
又因为，
所以，故方程在上必有一根．
所以满足题意的一个区间为．
【点评】此题是一道综合题，要求学生会求对数函数的定义域，会判断函数的奇偶性，会判断根的存在性和根的个数．在做第三问时注意会取特殊值．
17．（15分）已知函数f（x）＝m•9x﹣3x+1﹣m．
（1）当时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果；
（2）根据题意，分m＝0，m＞0，m＜0讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果．
解：（1）当时，f（x）＝，
令t＝3x，则t＞0，y＝＝，
所以f（x）的值域为[﹣3，+∞）．
（2）令u＝3x，x＞0，则u＞1，y＝mu2﹣3u﹣m，
因为u＝3x在（0，+∞）上单调递增，
所以要使f（x）在（0，+∞）上单调递增，
只需y＝mu2﹣3u﹣m在（1，+∞）上单调递增，
①当m＝0时，y＝﹣3u在（1，+∞）上单调递减，不符合题意；
②当m＜0时，y＝mu2﹣3u﹣m的图象开口向下，对称轴为u＝0，不符合题意；
③当m＞0时，则，解得m≥．
所以实数m的取值范围：[）．
【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，考查了指数函数、二次函数的性质，考查了转化思想及分类讨论思想，属于中档题．
18．（17分）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i）函数的部分图象接近图示；
（ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分；
（iiii）每天最多得分不超过100分．
现有以下三个函数模型供选择：
①y＝kx+m（k＞0）；
②；
③．
（1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；
（3）已知学校要求每天的得分不少于75分，求每天至少阅读多少分钟？
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型；
（2）将（0，0），（30，50）代入求解系数即可；
（3）根据对数函数的性质求解不等式即可．
解：（1）根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，
所以选对数型模型，故选；
（2）由题意及（1）可知（0，0），（30，50）在上，
所以，解得k＝25，m＝﹣25，
所以，
令y＝100，可得，解得x＝150，
所以函数的解析式为；
（3）令，可得，
解得x≥70，
所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟．
【点评】本题考查函数的实际应用，函数建模，属中档题．
19．（17分）设f（x）＝lgag（x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）若，且满足f（x）＞1，求x的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）＝ax2﹣x，是否存在a使得f（x）在区间[，3]上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．
（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：
p＝x0＜x1＜…＜xi﹣1＜xi＜…＜xn＝q
将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x1）﹣m（x0）|+|m（x2）﹣m（x1）|+…+|m（xi）﹣m（xi﹣1）|+…+|m（xn）﹣m（xn﹣1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）＝是否为在[，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）若f（x）＞1，则，解得答案；
（Ⅱ）分类讨论使f（x）在区间[，3]上是增函数的a值，综合讨论结果可得答案；
（Ⅲ）根据函数f（x）＝为[，3]上的有界变差函数，结合（Ⅱ）中结论，可得答案．
解：（Ⅰ）…（3分）
解得…（4分）
（Ⅱ）当a＞1时，…（6分）
当0＜a＜1时，，无解…（7分）
综上所述a＞2…（8分）
（Ⅲ）函数f（x）＝为[，3]上的有界变差函数．…（9分）
由（2）知当时，函数f（x）为[，3]上的单调递增函数，
且对任意划分T：，
有，
所以f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（xn）﹣f（xn﹣1）＝，…（11分）
所以存在常数M≥2，使得恒成立，
所以M的最小值为2．…（12分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
D
B
A
B
C