2024-2025学年宁夏回族自治区银川市高三上学期第五次月考数学（文）检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年宁夏回族自治区银川市高三上学期第五次月考数学（文）检测试题（附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知全集，集合则能表示关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，则实数（ ）
A．6B．C．3D．
4．“开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值随着时间x（小时）的变化规律，可以用函数模型来拟合，则该人喝一瓶啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（ ）（参考数据：，）
A．5B．6C．7D．8
5．若命题“”为假命题，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．4C．2D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ）

A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为
9．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（ ）

A．双曲线的渐近线为B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程为D．的面积为
10．定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马但劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马但劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选取一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为 .
14．若等比数列满足，则等于 ．
15．若，且，则 ．
16．已知如图正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．数列满足，，，设.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
18．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且____________．
在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为；③长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于、两点．当直线的倾斜角为时，求的面积．
19．已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
20．如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
21．已知函数，，为自然对数的底数.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的范围.
选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按22题记分．
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
(2)已知点，直线 过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值.
23．设函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．
驾驶行为类别
酒精含量值（mg/100mL）
饮酒驾驶
醉酒驾驶
1．A
【分析】结合复数运算法则求的代数形式，由此可求复数，再求其在复平面上的对应点的坐标及其象限.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以复数在复平面上的对应点的坐标为，
该点位于第一象限.
故选：A.
2．B
【分析】解出集合后，求得，逐项分析即可.
【详解】因为，
，
所以，
对于A，，错误；
对于C，，错误；
对于D，错误；B选项符合题意，
故选：B.
3．B
【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.
【详解】因为，所以 ，
即 ，所以，
因为，，所以，
所以，解得.
故选：B.
4．B
【分析】可结合分段函数建立不等式，利用指数不等式的求解即可.
【详解】对于
由，则，函数先增后减，
当时，，
所以，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量可能大于20，
则驾车只能在2个小时之后，令，即，
解得，
，的最小值为6，故至少经过6小时才可以驾车.
故选：B.
5．C
【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.
【详解】由题意命题“”为真命题，
所以当且仅当，
解得，即m的取值范围是.
故选：C.
6．A
【分析】参变分离为对任意恒成立，求出，故.
【详解】对任意恒成立，
变形为对任意恒成立，
其中，
又在上单调递减，在上单调递增，
其中当时，，当时，，
，故.
故选：A
7．A
【分析】设抛物线焦点为，由题意，利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.
【详解】抛物线的焦点，准线，
连接，，

由抛物线定义，
，
当且仅当三点共线时，取“＝”号，
∴的最小值为.
故选：A.
关键点点睛：
求解本题的关键在于，根据题中条件，由抛物线的定义，得到，进而可得出结果.
8．D
【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质一一判定选项即可.
【详解】根据辅助角公式可知，
由图象可知：，
所以，
对于A项，当时，，所以A正确；
对于B项，令，
此时函数单调递增，故B正确；
对于C项，的图象向左平移个单位长度得，故C正确；
对于D项，，显然不合题意，
易知，则当时，
此时有两个零点，即，
当时，有，
此时有两个零点，即，
显然D错误.
故选：D
9．D
【分析】A选项，利用渐近线方程直接进行求解；B选项，设椭圆方程为，利用双曲线定义和椭圆定义求出和，得到离心率；C选项，在B基础上求出，得到椭圆方程；D选项，利用余弦定理，同角三角函数关系，面积公式求出答案.
【详解】A选项，双曲线：的渐近线方程为，A错误；
B选项，由题意得，，
故，由双曲线定义得，故，
设椭圆方程为，故，即，解得，
又，故离心率为，B错误；
C选项，，故椭圆的方程为，C错误；
D选项，在中，由余弦定理得
，
故，
所以的面积为，D正确.
故选：D
10．D
【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可.
【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数，
又，所以，
所以当时，满足，
当时，，也满足，
所以不等式的解集为
故选：D.
关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性和单调性，再根据其单调性和对称性对分类讨论即可.
11．A
【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案.
【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则，
又于点，则；
设，由，得，
则，代入，得，
即点的轨迹方程为，
故选：A
12．C
【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离计算即可.
【详解】因为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
由，所以，
易得函数为在上单调递增函数，为零点，
此时M的坐标为，
由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为.
故选:
13．
【分析】根据随机事件发生的情况，列出双方对阵的所有情况，比较即可得到齐王胜出的概率．
【详解】齐王的上等马，中等马，下等马分别为，
田忌的上等马,中等马,下等马分别为，
则比赛可能出现的事件有：共9种
而齐王马获胜的事件有：共6种.
∴齐王马获胜的概率为.
故答案为.
本题考查了随机事件概率的简单应用，注意列举法的应用，属于基础题．
14．
【分析】由等比数列性质得，由此能求出的值.
【详解】等比数列满足，
则，
所以.
故答案为.
15．
【分析】结合三角函数的平方关系及二倍角公式化简原式为齐次式即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为.
16．
【分析】设正四棱柱和正四棱锥的高为，依题可得，即可求解半径，从而求得球的表面积．
【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为，如图，，
则其外接球的半径为
解得，所以，
故球的表面积为
故
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）证明：依题意，由，可得，
则，
∵，
∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
则，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率及选择的条件列方程即可求解；
（2）先求出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出三角形的高，再由弦长公式求出，最后用面积公式即可求解.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为
若选①有，解得，所以椭圆的方程为；
若选②有，解得，所以椭圆的方程为；
若选③有，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知右焦点为，当直线的倾斜角为时，可得直线方程为.
可得坐标原点到直线的距离，
直线联立椭圆方程整理化简得：，
由弦长公式可得,
所以
19．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
20．(1)证明见解析.
(2)
【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；
(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.
【详解】（1）证明：因为平面，平面,
所以,
又因为，即，
平面，,
所以平面，
又因为平面,
所以平面平面.
（2）如图，

过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的高为.
因为平面，平面,
所以,,
又因为，为公共边，
所以与全等，所以.
设，则，
所以为中点，,
又因为,所以,
即，解得，
所以，
所以四棱锥的高为．
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）对原函数求导后可知函数在上单调递增，得到即可；
（2）将题意转化为恒成立，构造，由，，可知对分为和讨论即可.
【详解】（1），于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
（2）恒成立，
恒成立.
令，，，.
①当时，，
由（1）可知，
在上为增函数，
恒成立.
时满足题意
②当时，由（1）可知
在上单调递增，
而∴存在，使得.
∴时，单调递减，
，不合题意，舍去.
综上，.
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式
证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．(1)；.
(2)
【分析】（1）根据已知方程即可求出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）求出直线的倾斜角，将的参数方程代入曲线的极坐标方程并化简，结合韦达定理即可求出的值.
【详解】（1）由题意，
在（为参数）中，
，即：，
在中，，
∵
∴，
∴曲线的直角坐标方程为：
（2）由题意，，
在中，直线 过点，
∴，解得：，
∴，，
将的参数方程代入曲线的极坐标方程，并化简得，
∴
设点对应的参数为，
∴.
23．(1)
(2)
【分析】（1）分段求解不等式，综合时求各段并集即可；
（2）恒成立问题转化为最值问题求解，则，求出最值解不等式即可.
【详解】（1）,
当时，由，
得，解得，则；
当时，由，
得，解得，则；
当时，由，
得，解得，则；
综上，不等式的解集是.
（2）由（1）作出函数的图象（如图），
可知在上单调递减，在上单调递增；
所以，
因为对任意实数，恒成立，
所以有，即，
即，解得，
故实数的取值范围为.