2024-2025学年山东省济南市高一上学期1月期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省济南市高一上学期1月期末数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
4．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．为增函数
C．的值域为
D．对，方程有两个根
11．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）
A．
B．
C．点的坐标为
D．点的坐标为
12．通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（ ）
A．族为集合上的一个拓扑
B．族为集合上的一个拓扑
C．族为集合上的一个拓扑
D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知为第二象限角，若，则的值为 .
14．定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 .
15．已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .
16．已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18．已知函数的最大值为3，最小值为1.
(1)求和的值；
(2)把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间.
19．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式.
20．如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.

(1)设，求的取值范围及；
(2)求面积的最小值.
21．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据：
设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③.
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间.
参考数据.
22．已知函数.
(1)若为单调函数，求的取值范围；
(2)设函数，记的最大值为.
（i）当时，求的最小值；
（ii）证明：对.
答案
1．【正确答案】B
【分析】由对数函数定义域以及分式型函数的定义域即可得解.
【详解】由题意，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：B.
2．【正确答案】C
【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C.
3．【正确答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“”的否定是.
故选：A
4．【正确答案】C
【分析】利用扇形的面积公式可求出扇环的面积，即可得解.
【详解】由题意可知，扇环的面积为.
故选：C.
5．【正确答案】C
【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可.
【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；
当时，易知为幂函数，在单调递增.
故函数,图象如图所示:
要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.
故选：C.
6．【正确答案】B
【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解.
【详解】由题意.
故选：B.
7．【正确答案】D
【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
在中，，
又，所以，
在中，，故，
得到，
所以，
所以，即，
故选：D.
8．【正确答案】A
【分析】由题意首先得函数在区间上的两个零点只能是，由此即可进一步列出不等式组求解.
【详解】由题意
，
当时，，
若函数在区间有且仅有2个零点，
则这两个零点只能是，
则当时，，解得.
故选：A.
9．【正确答案】BC
【分析】根据题意，结合不等式的性质，以及特殊验证，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，当时，，错误；
对于B，因为，所以，又，所以，正确；
对于C，由，可得，根据不等式的性质，可得，正确；
对于D，取，满足，而，错误.
故选：BC
10．【正确答案】ACD
【分析】利用函数的奇偶性及单调性，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，易知定义域为，定义域关于原点对称，
又，即为奇函数，所以选项A正确，
对于选项B，因为定义域为，当时，，
当时，，而，所以选项B错误，
因为在定义域上单调递增，在区间上单调递增，
所以的增区间为，
又易知，当时，的值域为，当时，的值域为，
所以对，方程有两个根，即选项C和D均正确，
故选：ACD.
11．【正确答案】ABC
【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D.
【详解】对于A：因为，，所以，正确；
对于B：依题意为线段的中点，则，则，
又，所以，正确；
对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点，
所以，
又，所以点的坐标为，正确；
对于D：
，
，
所以点的坐标为，错误.
故选：ABC
12．【正确答案】ABD
【分析】对于ABC，直接由拓扑的定义验证即可；对于D，不妨设族为集合上的一个拓扑，则由定义可知，，由此即可进一步求解.
【详解】对于A， 首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确；
对于B，首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确；
对于C，不妨设，则，不在中，故C错误；
对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑，
由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在，
且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在，
所以不妨设，
则，且，
首先满足条件（1），
其次，中的有限个元素取交后得到的集合都在中，满足条件（2），
再次，中的任意多个元素取并后得到的集合都在中，满足条件（3），故D正确.
故选：ABD.
关键点点睛：判断D选项的关键是首先得到，由此即可顺利得解.
13．【正确答案】/
【分析】先根据同角函数的平方关系求得，再根据正切公式求解即可.
【详解】因为为第二象限角，且，所以，
所以.
故
14．【正确答案】1
【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解.
【详解】由题意.
故1.
15．【正确答案】0
【分析】由题意利用辅助角公式，化简，结合图象关于直线对称可求得的值，即可求得a的值，进而求得答案.
【详解】由题意得函数，
显然，，
又函数的图象关于直线对称，故,
则，故，则，故.
故0
16．【正确答案】
【分析】由题意首先得，，进一步有，由此即可顺利得解.
【详解】由题意设，则函数的零点即为方程的根，
在同一平面直角坐标系中分别画出函数的图象以及直线如图所示：
若函数有三个零点，（不妨设为），
则方程的根有三个根，且，
所以，
且，
因为在单调递增，所以，即，
所以，
令，，解得，令，，解得，
所以.
故答案为.
关键点睛：关键是根据函数单调性得到，由此即可顺利得解.
17．【正确答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解不等式确定集合A，根据集合的交集以及并集运算，即可求得答那；
（2）由题意可得⫋，列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）解可得，
故可知，
当时，，
所以，；
（2）因为是的充分不必要条件，
所以⫋，则，
解得.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意列出方程组即可得解.
（2）首先得表达式，进一步整体代入列出不等式组即可求解.
【详解】（1）因为，由题意可得，解得.
（2）由（1）得，所以，
由，得，
所以的单调递减区间为.
19．【正确答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由偶函数的定义得恒等式，由此即可得解.
（2）由对数函数、指数函数单调性等价变形即可求解.
【详解】（1）设的定义域为，
因为为偶函数，所以，都有，
即对都成立，
等价于对都成立，
整理得都成立，
所以，解得.
所以的值为1.
（2）由题意，
移项得，
所以，
所以，
整理得，即，
解得，
所以不等式的解集为.
20．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得，即可得，在中，利用即可求出结果；
（2）根据条件得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为为等腰直角三角形，为线段的中点，
所以.
因为点在线段上运动，所以，
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.

21．【正确答案】(1)应选择模型②，理由见解析，
(2)
【分析】（1）根据题中描述的函数模型特点选择相应的函数模型，待定系数即可求解.
（2）由指对互换、对数运算性质解方程即可求解.
【详解】（1）选择②作为函数模型.
对于模型①，当时，函数无意义，故而排除；
对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；
对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；
故应选择模型②.
将前的数据带入，得，解得，
所以所求函数解析式为.
（2）由（1）中模型可得，即，所以，
即
所以刚泡好的红茶放置能达到最佳饮用口感.
22．【正确答案】(1)或
(2)（i）2;（ii）证明见解析
【分析】（1）利用对称轴与区间的关系，即可求得的取值范围；
（2）对于（i）表示出再根据的大小讨论即可；对于（ii）先讨论对称轴与区间的关系并表示出，再对表达式中的绝对值大小进行讨论.
【详解】（1）由，可得的对称轴，
要使为单调函数，则或，
解得或.
（2）（i）当时，，
则
当时，，
当且仅当时，等号成立；
当时，；
所以的最小值为2.
（ii）下面根据对称轴对进行讨论：
当时，，
①若，显然，
②若，则.
当时，，则，
①若，显然，
②若，则.
当时，，
则.
①若，显然
②若，记，则，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
当时，易知恒成立，
下面再讨论与的大小关系：
当时，，
当时，，
，
综上所述，.
关键点点睛：本题的解题关键在于对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，同时对中的绝对值问题进行讨论.时间
0
1
2
3
4
5
水温
95.00
88.00
81.70
76.05
70.93
66.30