2024-2025学年山东省聊城市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省聊城市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．1D．
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共2小题）
7．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若.则
D．若，则
8．函数的图象，如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数是奇函数
C．的图象关于点对称
D．若在上有且仅有三个零点，则
三、填空题（本大题共3小题）
9．设等比数列的前n项和为，若，则的值为
10．已知正数满足，则的最小值为 .
11．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 .
四、解答题（本大题共3小题）
12．已知函数.
(1)证明：函数的图像关于点对称；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
13．已知函数.（其中是自然对数的底，）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若恒成立，求整数的最大值.
14．已知无穷数列，构造新数列满足满足满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，若为常数数列，则称为阶等比数列.
(1)已知为二阶等差数列，且，求的通项公式：
(2)若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列.证明：为三阶等比数列：
(3)已知，令的前项和为.证明.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由可得：，
所以，
所以.
故选：D.
2．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】根据两向量垂直，
可得，解得或；
可推出或,充分性成立，
而或推不出，必要性不成立，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】依题意，设等差数列的公差为，
由，得，
又，则，解得，
则.
故选：C.
5．【正确答案】D
【详解】因为，，，
，故，
所以，
且，故，
故.
故选：D.
6．【正确答案】B
【详解】当时，，
，
所以在区间上单调递增，
当时，，，
由题意知，在上恒成立，
即在上恒成立，
又因为，
当且仅当，即时取等号，所以，
又因为，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
7．【正确答案】BC
【详解】A选项，时，，A选项错误；
B选项，设，根据幂函数的性质可知其在R上单调递增，
，B选项正确；
C选项，若，则，则，
而，根据不等式的性质，，从而，C选项正确；
D选项，满足，但无意义，D选项错误.
故选：BC
8．【正确答案】BCD
【详解】依题意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期为，A错误；
是奇函数，B正确；
，
，故是的对称中心，
故关于对称，C正确；
，，当时，，
依题意，中恰好包含，于是，
解得，D正确.
故选：BCD
9．【正确答案】
【详解】解：由题意可得，公比，根据，及可得，
化简可得．则.
故答案为.
10．【正确答案】
【详解】由，得，
所以，
因为，，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，且，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为.
11．【正确答案】−2
【详解】设函数，，则，；
在点处的切线方程为：，即
在点处的切线方程为：即.
由已知：可得：，化简得：；
代入所求式子.
故答案为.
12．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
所以函数的图像关于点对称.
（2）当时，，
由已知，不等式恒成立，
因为，所以，
以上不等式可化为：，
所以，
整理可得：，
设，因为，所以，
上式可转化为，
因为，因为，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
13．【正确答案】(1)
见解析
(2)1
【详解】（1）定义域为，，
当时，，则在上单调递增；
当时，由得：，解得：，
由得：，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，即：，所以，
令，
则，
令，
则，
当时，，所以在上单调递增，
因为，，
所以，使得，
即，
所以当时，，当时，，
即当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取最小值，
令，
因为，所以在上单调递增，
，，
所以，因为，所以整数的最大值为1.
14．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为，又，
所以为公差为，首项为4的等差数列，
因此，即，
所以
（2）因为为二阶等差数列，所以(为常数)，
因此，即，
所以
，
故是关于的二次多项式，
又是一阶等比，设公比为，则，则，
由是关于的二次多项式，知是关于的三次多项式.
下面证明是三阶等差数列:
设，则，
所以
，
，此为常数，
因此是三阶等差数列，故是常数列，故是三阶等比数列.
（3）由上可知，可设(其中)，
则，
所以
故，
所以，
因此，
设数列的前项和为，则，
所以，
两式相减，得，
，
所以.即，得证.