2024-2025学年天津市宝坻区高三上学期第二次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市宝坻区高三上学期第二次月考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．已知集合，若，则集合B可以是（ ）
A．B．C．D．
2．设是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A．B．C．D．
4．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
6．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过A点作准线的垂线交准线于，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
8．随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑（wŭ）殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面题矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形．若，则该几何体的体积为（ ）

（图1） （图2）
A．90B．C．D．135
9．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于( )
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．若复数 满足 ( 是虚数单位)，则 的虚部是 .
11．二项式的展开式中，的系数为10，则 ．
12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ；从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 .
13．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为 ；这9张纸的面积之和等于 ．
14．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右焦点分别为，点在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为 .
15．已知函数. 设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 .
三、解答题（本大题共5小题）
16．在中，角所对的边分别为a,b,c，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
17．如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，M为PC上一点，且，，.
（1）证明：平面PAD；
（2）求直线DM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积.
18．设椭圆，且离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆中心时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，直线和直线分别与轴交于，，与轴交于，，若，求直线的斜率.
19．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：；
(3)若函数在区间上无零点，求a的取值范围．
20．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足：．求证：数列为“数列”；
(2)已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和.
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“-数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D
2．【正确答案】B
【分析】由充分条件和必要条件的定义结合线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由，，，则可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
3．【正确答案】D
【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
4．【正确答案】A
【详解】的定义域为，
，为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项.
,，排除BD选项.
所以A选项符合.
故选：A
5．【正确答案】B
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

6．【正确答案】B
【详解】
因为，根据抛物线定义有：，
设与轴的交点为，因为，所以.
因为，所以.故A，C，D错误.
故选：B.
7．【正确答案】D
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
8．【正确答案】B
【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积．
【详解】过点作，，又，，平面，
所以平面，
过点作，，又，，平面，

所以平面，
因为底面，平面，平面平面，
所以，同理，
所以，，，，
平面，平面，平面，平面，
所以，，
因为，与是全等的等腰三角形，
由对称性可得，，
所以，
连接点与的中点，则，
所以，又，
所以三棱柱的体积为，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，，
所以平面，又矩形的面积为，
所以四棱锥的体积为，
由对称性可得四棱锥的体积为，
所以五面体的体积为．
故选：B
9．【正确答案】C
【详解】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．
考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．
10．【正确答案】
【详解】因为，所以，
所以的虚部是.
故答案为.
11．【正确答案】2
【详解】易知二项式的展开式通项公式为，
显然时，.
故2
12．【正确答案】 /0.3 /0.4
【详解】从5名同学中随机选3名参加社区服务工作共有种选法，
其中甲、乙都入选共有种，
所以甲、乙都入选的概率；
从6张卡片中无放回随机抽取2张共有种抽取情况，
抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的情况有：1,4，，，，，共计6种情况，
所以抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率.
故 ，
13．【正确答案】 /
【详解】由题设，若的长宽分别为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，
又纸宽度为，所以，则的面积为，
由上分析，面积为，面积为，面积为，，依次类推，
易知，这9张纸的面积是以为首项，为公比的等比数列，
所以，面积之和为.
故；
14．【正确答案】/
【详解】据题意有，，设，则.
所以，而，故，故.
再由可知，所以，故.
从而，故，从而.
故，得，故，.
故答案为.
15．【正确答案】
【详解】由于f（x），
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为M，若[，]⊆A，
则在[，]上，函数y＝f（x+a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．
当a＝0时，显然不满足条件．
当a＞0时，函数y＝f（x+a）的图象是把函数y＝f（x）的图象向左平移a个单位得到的，
结合图象（右上方）可得不满足函数y＝f（x+a）的图象在函数y＝f（x）的图象下方．
当a＜0时，如图所示，要使在[，]上，
函数y＝f（x+a）的图象在函数y＝f（x）的图象的下方，
只要f（a）＜f（）即可，
即﹣a（a）2+（a）＜﹣a（）2，
化简可得 a2﹣a﹣1＜0，解得 a，
故此时a的范围为（，0）．
综上可得，a的范围为（，0），
故（，0）．

16．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到；
（3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则;
（3）法一：因为，且B∈0,π，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，;
;
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以.
17．【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【详解】（1）证明：过M作交PD于N，连接AN，
则，，
又，，
，，
四边形ABMN是平行四边形，
，又平面PAD，平面PAD，
平面PAD.
（2）连接BD，
，，，，
，，
又，，
以D为原点，以DB，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
，，，
设平面PBC的法向量为，则，即，
令可得，
，
直线DM与平面PBC所成的角的正弦值为.
（3），
.
18．【正确答案】(1)
(2)0或.
【详解】（1）当直线AB经过椭圆中心O时，，得，
又，所以，得，
所以；
（2）①当直线的方程为时，显然A−2,0，；
直线的方程为，所以；
直线的方程为，所以；
此时点与点A重合，点与点重合，易知；
②设直线，Ax1,y1，Bx2,y2
，
，即，即或，；
，；
，；
直线，直线
令，，
令，，
则
即
也即
则，，斜率为；
综上，直线的斜率为0或.
19．【正确答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
（2）因为 所以，
要证明，只需要证明，即证.
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立.
（3），
当时，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，
令，则在区间上恒成立，
所以在单调递减，且，
①当时，此时，在区间上恒成立，
所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意，
②当时，此时，由于且，
所以，
所以 ，故存在使得，
故当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令 ，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知， a的取值范围为.
20．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)①；②5.
【分析】（1）根据题意列出方程求出首项和公比即可证明；
（2）①根据可得，即可判断数列为等差数列，即可求出通项公式；②根据题意，构造函数，利用导数可得即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，所以，
由，得，解得，
因此数列为“—数列”；
（2）①由，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列的通项公式为；
②由①知，，
因为数列为“—数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在，因此所求的最大值小于6，
故的最大值为5.