2024-2025学年天津市经济技术开发区高二上学期第二次适应性测试（12月）数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市经济技术开发区高二上学期第二次适应性测试（12月）数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则（ ）
A．直线方程的点斜式为
B．直线方程的截距式为
C．直线方程的斜截式为
D．直线方程的一般式为
3．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
8．已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A．5B．6C．7D．
9．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
10．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共2小题）
11．已知圆 ，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
12．已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
三、填空题（本大题共6小题）
13．设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 .
14．两圆与上的点之间的最短距离是 .
15．将化简为不含根式的形式为 .
16．已知抛物线的焦点为，点A为上第一象限内一点，，则直线的斜率为 .
17．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是 .
18．如图，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与交于，且，则椭圆的离心率为 .
四、解答题（本大题共4小题）
19．已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为.
(1)求的值；
(2)求过点并与圆相切的切线的一般式方程.
20．已知F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F作斜率为2的直线交抛物线C于P、Q两点，求的面积.
21．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点.

(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)棱上是否存在点，使其到平面的距离为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.
22．设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A、，.过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的值；
(3)是否存在实数，使直线平行于直线？请证明你的结论.
答案
1．【正确答案】A
【分析】由椭圆的离心率和长轴长，结合可得椭圆标准方程.
【详解】由题意得，解得，所以椭圆方程为：，
故选：A.
2．【正确答案】B
【详解】因为直线经过点，且它的一个方向向量为，
则直线的斜率为，
对于A选项，直线方程的点斜式为，A错；
对于D选项，直线方程的一般式为，D错；
对于B选项，直线方程的截距式为，B对；
对于C选项，直线方程的斜截式为，C错.
故选：B.
3．【正确答案】D
【详解】因为，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐标是，
故选D.
4．【正确答案】A
【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离.
【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为，
即，则由点到直线的距离公式得.
故选A.
5．【正确答案】C
【详解】椭圆与双曲线的焦点都在轴，
因为椭圆和双曲线有相同的焦点，则，解得.
故选：C.
6．【正确答案】C
【详解】在数列中，，，则，
所以数列为常数列，故，可得，
故，
故选：C.
7．【正确答案】A
【详解】解：∵F是双曲线的下焦点，
∴，c＝4，F（0，−4），
上焦点为（0，4），
由双曲线的定义可得
，
当A，P，H三点共线时，取得最小值9．
故选：A．

8．【正确答案】A
【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离.
【详解】如图所示：
设切点为Q，则，
则，
设，则由两点间距离公式得到，
解得，因为，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为.
故选A.
9．【正确答案】D
【分析】
根据题意设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立消去，利用根与系数关系求出，然后代入即可求出直线的斜率．
【详解】
设以点为中点的弦所在直线斜率为，则直线的方程为，即，
由得，
设所求直线与椭圆交于，，所以，
所以，解得．
故选：D
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，通常情况是采用“设而不求”、“整体代入”的方法求解．另外，本题也可采用“点差法”来求解．
10．【正确答案】C
【分析】
由双曲线可得渐近线方程为，对于与双曲线无交点只需或，即可得，进而求离心率的范围.
【详解】
由题设，双曲线渐近线方程为，要使直线与双曲线无交点，
则，即，而.
故选：C
11．【正确答案】AD
【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确.
对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B选项错误.
对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误.
对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确.
故选AD.
12．【正确答案】BCD
【分析】分别将的值代入各个命题，根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断．
【详解】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误.
对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确.
对于C，当时.，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确.
对于D，当方程表示双曲线时，；当方程表示椭圆时，，所以焦距均为10，故D正确.
故选BCD.
13．【正确答案】.
【详解】由题当时；
当时，①，
则不满足①式，
所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心距为，即两圆外离，
故两圆上的点之间的最短距离为.
故答案为.
15．【正确答案】
【详解】记点、、，则，，
所以，点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，设其方程为，
则，即，故椭圆的方程为.
故答案为.
16．【正确答案】/
【详解】由题可设，且抛物线焦点F1,0，准线方程为，
则，
将代入得，
所以，则直线的斜率为.
故答案为.
17．【正确答案】
【详解】由题意可得，
，
，
由平行六面体法则可得，
所以，
，
故.
故答案为.
18．【正确答案】
【详解】设左顶点为，左焦点为，上顶点为，下顶点为，
可得直线的斜率为，
直线的斜率，
因为，直线与交于，所以，
所以，即，因为，
所以，
所以，
解得：或（舍）
所以椭圆的离心率为.
故
19．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由已知圆，
即圆心，半径，
则圆心到直线的距离，
所以弦长为，
解得或（舍）；
（2）由（1）得，
则圆，圆心，半径，
则点在圆外，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
此时，解得，
则直线方程为，即；
当切线斜率不存在时，直线方程为，此时满足直线与圆相切，
综上所述，切线方程为或.
20．【正确答案】（1） （2）
【详解】解：（1）,即C的方程为；
（2）将点A代入方程：,即，.
又直线，联立方程,消y得：，
设,，则,，
，
又点到直线的距离，.
21．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，与重合时.
【详解】（1）四棱柱中，取中点，连接，，
由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则、，于是四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）四棱柱中，平面，，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

有、、、、、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
取，得、，
则，
所以平面与平面的夹角余弦值为.
（3）假定在棱上存在点，使其到平面的距离为，设，
则，由（2）知，平面的法向量为，
则，解得，即点与点重合，
所以在棱上存在点与点重合，，使其到平面的距离为.
22．【正确答案】(1)；
(2)；
(3)不存在，证明见解析.
【详解】（1）由题可得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题可设直线的方程为，
令，所以.
设，联立 ，
则，
，.
则中点横坐标为，
因为，，所以中点横坐标为.
因为，所以四点共线，设中点为H，则，
所以即，所以H是的中点，
所以即.
（3）不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：
由题意，
若，则，所以，
又，所以，化简得，
所以由得，
又 ，所以，所以，
整理得，无解，
所以不存在实数，使直线平行于直线.