2024-2025学年重庆市高三上学期第四次月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年重庆市高三上学期第四次月考数学质量检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数满足，则复平面内表示的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设等比数列的前项和为，若，且，则等于（ ）
A．3B．303C．D．
3．已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线，圆，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则（ ）
A．2B．4C．D．8
6．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（ ）个人.
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．，为对立事件B．
C．D．
10．下图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．若，则
11．双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，若P是右支上一点（与B不重合）如图，过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（ ）

A．P到两条渐近线的距离之积为
B．当直线l运动时，始终有
C．在中，
D．内切圆半径取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．中内角，，所对的边分别为，，，且，，，则 ．
13．已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
14．已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
16．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．
(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；
(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
17．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为（）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得分.若该答题机器人答对每道题的概率均为，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为，当时，答题结束，机器人挑战成功，当时，答题也结束，机器人挑战失败.
(1)当时，求机器人第一轮答题后累计得分的分布列与数学期望；
(2)当时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.
18．已知函数．
(1)若，求极值；
(2)若函数有两个极值点，求的范围；
(3)在（2）的条件下，求证：．
19．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.
(1)求的方程;
(2)若是四边形的等线，求四边形的面积;
(3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线
答案
1．【正确答案】D
【详解】，则．其对应的点在第四象限．
故选：D.
2．【正确答案】A
【详解】设等比数列的公比为，由，
可得，故．
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】因为，所以，所以，
从而在上的投影向量为．
故选：B.
4．【正确答案】D
【详解】原式.
故选：D.
5．【正确答案】C
【详解】圆心，则点C到直线的距离，
又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，即.
故选：C．
6．【正确答案】B
【详解】在中，，，
则的外接圆的半径，
因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为，
则，
则三棱锥的外接球的表面积为．
故选：B．
7．【正确答案】D
【详解】由题意函数与的图象有两个交点，
令，则，
∴当时，ℎ′x>0，ℎx单调递增；
当时，ℎ′x0，
在同一坐标系中作出函数、的图象，如图，
由图象可知，若函数与的图象有两个交点，则，
当直线为函数图象的切线时，由，可得，
∴且，即.
故选：D．
8．【正确答案】C
【详解】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况，
若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率，
要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即，
由于，即随n随n的增大而减小，
，，故至少要选个人，
故选：C.
9．【正确答案】AB
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，所以，故D错误；，故 C错误.
故选AB.
10．【正确答案】AC
【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，
由，得，，而，则，，
所以，故A正确；
对于B，将图象向右平移后得到函数，故B错误；
对于C，当时，，
而正弦函数在上单调递增，
因此在区间上单调递增，故C正确．
对于D，因为，取，满足条件，
此时，故D错误．
故选：AC.
11．【正确答案】ABC
【详解】由题可知双曲线的标准方程为，故两个渐近线方程分别为与，设点，由题可知
所以点到两个渐近线的距离分别为
故由题可知，故，故选项A正确；
设点
显然直线的斜率存在,设直线
联立方程，，
得
所以
直线分别与渐近线与联立得
得
所以有
即
由题可知，
所以，故选项B正确；
不妨设，
由题可知，
所以有

由题可知，
故
所以
整理得，故选项C正确；
由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径
易知
得
因为
得,
所以，
因为，所以，所以，，故选项D错误.
故选：ABC
12．【正确答案】
【详解】在中由正弦定理可知，所以，
解得，由，
又，，所以，所以.
故答案为.
13．【正确答案】/
【详解】因为，所以，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故．
14．【正确答案】
【详解】当时，设，则，
所以在区间上单调递减，从而，此时；
当时，设，在区间上单调递减，
所以当时，，即；
当时，，即；
当时，，即.
可知，
设，注意到曲线与曲线恰好交于点，
显然，,作出的大致图象如图，

由，得，即g(x)=ax+1.
设直线与曲线切于点，
，直线过定点，则，
解得，从而.
由图象可知，若关于x的方程有3个实数解，
则直线与曲线有3个交点，则，
即所求实数a的取值范围是，
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
所以，当时，，
两式作差得，
所以，则数列为常数数列，
且，所以；
（2），
所以，①
②
①-②得
所以
16．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【详解】（1）证明：设的中点为，连接，
因为P为的中点，Q为的中点，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
（2）在直三棱柱中，平面，，
故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
则，，
又，则，
所以，
若平面，则，
则，解得，
所以线段上存在点P，使得平面，此时.
17．【正确答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）当时，第一轮答题后累计得分所有取值为4，3，2，
根据题意可知：，，，
所以第一轮答题后累计得分的分布列为：
所以.
（2）当时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A，
此时情况有2种，分别为：
情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；
情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得分的有1轮，第5.6轮都得1分；
所以.
18．【正确答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，函数定义域为0,+∞，
，当，f′x>0，在上单调递增，
或，f′x