2024-2025学年重庆市九龙坡区高二上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年重庆市九龙坡区高二上学期12月月考数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，且与垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．2D．
5．已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（ ）
A．11B．9C．7D．6
6．已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ ）
A．4B．C．1D．
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，直线交于另一点，△的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于点和圆，下列说法错误的是（ ）
A．点在圆上
B．过点有两条圆的切线
C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为
D．过点被圆截得的弦长为的直线方程为
10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的长为D．
11．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．抛物线的准线方程是 .
13．人教版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为．现已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角是 ．
14．点在椭圆上，是圆的一条直径，则的最大值 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为．
(1)求点B的坐标；
(2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
16．已知：圆与圆．
(1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程．
(2)当两圆外切时，
①求的值；
②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求．
17．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
18．已知在椭圆．
(1)求椭圆的方程；
(2)当在椭圆上，且在第三象限，是椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
19．已知为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程，过右焦点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，且满足.求直线的斜率；
(3)过圆上任意一点作切线，分别交双曲线于，两个不同点，中点为，证明.
答案
1．【正确答案】B
【详解】依题意可得，解得，
则直线方程为，
而方程，即，
所以两条平行线间的距离为.
故选：B.
2．【正确答案】C
【详解】由与垂直，
可得（*），
因，，则，，，
代入（*），可得，解得.
故选：C.
3．【正确答案】B
【分析】
根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可.
【详解】
抛物线的焦点，准线的方程为，过做，垂足为，
设周长为，
，由抛物线的定义可知：
，因此，当在同一条直线上时，有最小值，即
时，，
故选：B
4．【正确答案】B
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.
【详解】根据题意，.
设向量是直线的单位方向向量，，
，
则点C到直线AB的距离为.
故选：B
5．【正确答案】B
【详解】
由，得，，则，
则双曲线的两个焦点，，
又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径，
所以，，
则
，
即的最大值为．
故选：B.
6．【正确答案】D
【分析】利用直线与圆的位置关系先确定的最大时，P的位置，根据点到线的距离公式计算即可.
【详解】由圆，可知其圆心，半径为r，
由切线的性质易知，则取最大时，PC最小，即，
所以，
又的最大值为，所以此时，则的值为.
故选：D
7．【正确答案】A
【详解】设交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，
因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面，
所以，所以，又底面圆半径,所以
，所以，
设双曲线方程为，代入，，代入解得，
则双曲线的两条渐近线方程为，由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为.
故选：A
8．【正确答案】B
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，AF2=a，
设的内切圆与，分别相切于点，如图所示，
则，，
所以，
所以的周长为，
由椭圆的定义，得，
所以，则离心率，
故选：B．
9．【正确答案】ABD
【详解】由题意，因为，所以点在圆内，
则过点不存在圆的切线，故A不正确，B不正确；
圆的圆心，半径，
对于C，根据圆的几何性质可知，当过点被圆截得的弦长最大时，直线经过圆心，
即直线经过点和，此时直线方程为，故C正确；
对于D，当过点的直线斜率不存在时，方程为，与圆交于点和，此时弦长为，符合题意；
当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即，
设圆心到弦所在直线的距离为，由，解得，则，解得，直线方程为，故D不正确；
故选：ABD.
10．【正确答案】BD
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
11．【正确答案】AD
【详解】A.由题意可知，，，
得，故A正确；
B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，
根据余弦定理，，
整理为，
而，故B错误；
C. 若，则，则，
则，
，
当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；
D.在椭圆中，，
，
整理为，
在双曲线中，，
整理为，
所以，即，
而，则，故D正确.
故选：AD
12．【正确答案】
先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解.
【详解】由得抛物线方程为，所以，
所以抛物线的准线方程是，
故答案为.
13．【正确答案】/30°
【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量，
又直线的方向向量，设直线与平面所成角为，，
所以，则.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】
因为，，，，
所以
，
设点Px,y，则，又，
所以，即，
所以
因为，所以当时，有最大值，最大值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可设点，
因为，则的中点在直线上，
可得，解得，
所以点B的坐标为.
（2）设关于直线的对称点为，
则，解得，即
所以反射光线所在的直线方程为，可得.
16．【正确答案】(1)两圆相交，理由见解析；
(2)①，②4.
【详解】（1）由圆与圆，
可知两圆圆心分别为，半径，则，
当时，，则，，
所以，故两圆相交．
两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为．
（2）①若两圆外切，则，即，解得．
②因为，所以.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以， 根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面．
（2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，
因为平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
即，即．
因为，设，则，由等面积法可得，，
又，而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．
18．【正确答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意，得，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）
设点Px0,y0，则，即.
由（1）可知，，，所以直线的方程为，
令，解得，
所以；
直线的方程为，令，解得，
所以
因为，所以四边形的面积，
即
因此，四边形的面积为定值.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由渐近线为，则，即，
则双曲线方程为，，
令，则，
又在轴上方，则，，，
所以双曲线方程为；
（2）
由（1）得，
设直线，，
联立直线与双曲线，则，
，即，
且，，
又，，
且，
则，
化简可得，
即或，
当，直线，
直线过点，不成立，
综上所述，；
（3）
当直线斜率存在时，设直线，，，
易知直线与圆相切，
则，即，
联立直线与双曲线，得，
，即，
且，，
则，，
即
，
即；
当直线斜率不存在时，直线或，
当方程为时，，，
此时，，
同理当方程为时，；
综上所述恒成立，
即为直角三角形，且为中点，
则.