天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．直线经过，，其倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．数列中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知等差数列，，，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．抛物线的焦点是（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线C：的离心率为2，则C的渐近线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
6．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．不存在
7．在四棱柱中，设，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．设为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ）
A．双曲线的渐近线为B．的离心率为
C．的方程为D．的面积为
二、填空题（本大题共8小题）
11．过点与直线垂直的直线方程为 .
12．圆被直线所截得的弦长为 ．
13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则 .
14．已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则 .
15．设为等差数列的前n项和，且，，则 .
16．已知圆：与圆：相交，则两个圆的公共弦方程为 ，则两圆的公共弦长为 ．
17．圆关于直线对称的圆的方程是 .
18．若空间中有三点，，，则点到平面的距离为 .
三、解答题（本大题共4小题）
19．已知在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和;
(3)当n为何值时前n项和取得最大，并求出此最大值.
20．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知圆经过点和，且圆心在直线上，
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求直线的方程.
22．已知椭圆C：的离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦长，为坐标原点，求的面积；
(3)直线（为左顶点）与椭圆C交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为直线经过，，
所以直线的斜率为：，
设直线的倾斜角为，则，
又 ，所以，
故选：B
2．【正确答案】A
【详解】数列中，，，
所以数列是首项，公差的等差数列，
所以.
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】由，可得公差，
故，
故选：B
4．【正确答案】D
【详解】的焦点是,
故选：D
5．【正确答案】A
【详解】解：因为双曲线C：的离心率为2，
所以，焦点，
又双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线C的渐近线方程为，
故选：A
6．【正确答案】A
【分析】求出直线与不相交时的值，再验证即可得解.
【详解】当直线与不相交时，，解得或，
当时，直线：与直线：平行，因此；
当时，直线：与直线：重合，不符合题意，
所以实数的值为1.
故选：A
7．【正确答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
，
故选C.
8．【正确答案】C
【详解】解：因为双曲线C：的一条渐近线方程为，
所以，
又双曲线与椭圆有公共焦点，
所以，又，
解得，
所以双曲线的方程为，
故选：C
9．【正确答案】A
【详解】解：当时，；
当时，，
又适合上式，
所以，
故选：A
10．【正确答案】D
【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案.
【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，
则，，
所以，，，，
所以公共焦点为，，，
所以，
因为点A是在第一象限内的交点，所以，
根据双曲线的定义可得，，
所以，
根据椭圆的定义可得，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率为，故BC项错误；
对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
对于D项，由余弦定理得，
又，所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
11．【正确答案】
【详解】设与直线垂直的直线方程为，
将代入即可得，
故直线方程为，
故
12．【正确答案】
【详解】解：圆，即，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以弦长为；
故
13．【正确答案】
【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出.
【详解】因为点为抛物线上一点，所以，解得.
所以焦点.
所以.
故
14．【正确答案】
【分析】由双曲线方程及焦距确定双曲线参数，再由双曲线定义求.
【详解】由题设，又且，
所以，而，则或，
其中，故.
故
15．【正确答案】21
【详解】由，可得，解得，
故，
故
16．【正确答案】
【详解】由圆：①与圆：②，
②①得，即
即两个圆的公共弦方程为；
两圆的公共弦长即为圆：与相交产生的弦长
则弦长为.
故；.
17．【正确答案】
【详解】因为圆的圆心为,半径为1，
设关于直线的对称点为,
所以，解得,
圆关于直线对称的圆的半径是1，
所以圆的方程为.
故答案为.
18．【正确答案】
【详解】,,
设平面的法向量为，
所以，
令，
解得，
所以，
，
所以点到平面的距离为.
故答案为.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)，最大值为36.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，故，
所以.
（2）由（1）得，所以
（3）因为，故时取得最大，最大值为36.
20．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

依题意，得B1,0,0，，A0,0,0，D0,1,0，，,
则，，
设平面的法向量，
，所以，取，得.
因为，所以，所以.
又面，所以面.
（2）∵D0,1,0，，∴，
∵平面的法向量，
设直线和平面所成角为，
∴，
∴直线和平面所成角的正弦值为.
（3）易知平面的法向量，
平面的法向量，
∴
∴平面与平面夹角的余弦值为.
21．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
则，解得，
故圆的方程为；
（2）易知当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意；
当直线的斜率存在时，设，即，
则点到直线l的距离为圆的半径，
即，解得，此时.
综上，直线l的方程为或.
22．【正确答案】(1)
(2)，
(3).
【详解】（1）由题意可得，所以，则，
所以椭圆方程为;
（2）由（1）可得右焦点为F1,0，
∴直线的方程为，设Mx1,y1，Nx2,y2，
联立，消得，
显然，所以，
∴，
∴，
又点O0,0到直线的距离，
∴；
（3）由题意可得直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，
则，
由，
所以，所以，则，
故，F1,0，
所以，，
因为，所以
所以，解得，
故直线的方程为.