河南省“金科新未来”2024-2025学年高二12月质量检测数学试题（含解析）

这是一份河南省“金科新未来”2024-2025学年高二12月质量检测数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|x>3}，N={x|x≤-2}，则∁R(M∪N)=( )
A. [-2,3)B. [3,+∞)
C. (-2,3]D. (-∞,-2)∪[3，+∞)
2.设a=lg213，b=(π3)0.5，c=sinπ3，则a，b，c的大小关系是( )
A. c3}，
所以∁R(M∪N)={x|-20，
∵4Sn=(an+1)2，∴Sn=14(an+1)2，
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=14(an+1)2-14(an-1+1)2，
整理为：(an+an-1)(an-an-1-2)=0，
∵an+an-1>0，∴an-an-1=2，
又a1=14(a1+1)2，解得a1=1．
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴an=1+2(n-1)=2n-1，
∴Sn=14(2n-1+1)2=n2，
∴2Sn+10an+3=2n2+102n-1+3=n2+5n+1
=n+6n+1-1．
令cn=n+6n+1-1，
则cn+1-cn=n+1+6n+2-1-n+6n+1-1=n-1n+4n+1n+2⩾0，
所以cnmin=c1=c2=3，
∴2Sn+6an+3的最小值为3．
故选：B．
9.ACD
【解析】对于A，z=i1-i5=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i2，故z=-1-i2，其实部为-12，故A正确；对于B，|z-i|=-12-12i= 22，故B错误；
对于C，由复数的几何意义可知z在复平面内的对应点(-12,12)位于第二象限，故C正确；
对于D，易得2(-1+i2)2+2(-1+i2)+1=0，故D正确，
故选：ACD．
10.BCD
【解析】因为a3+a4=12，a3a4=32，又数列{an}是递增的，所以a3=4，a4=8，所以公比q=a4a3=2，a1=1，所以an=2n-1，所以Sn=1×(1-2n)1-2=2n-1，S1=1，S2=3，S3=7，S1⋅S3≠S22，故A错误；
由于lgan+1-lgan=lgan+1an=lg2，所以数列{lgan}是等差数列，故B正确；
Tn=21+2+⋯+n-1=2n2-n2，故C正确；
因为anan+1=2n-1⋅2n=22n-1，所以a1a2+a2a3+⋯+anan+1=2+23+⋯+22n-1=2(1-4n)1-4=2(4n-1)3，故D正确，故选：BCD．
11.ACD
【解析】显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+8，
由y2=8xx=my+8，得y2-8my-64=0，
所以y1+y2=8m，y1y2=-64，则x1x2=y128⋅y228=(y1y2)264=64，故A正确，B错误．
|AB|= 1+m2|y1-y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2-4y1y2= 1+m2⋅ 64m2+256
=8 (m2+1)(m2+4)，
所以|AB|min=16，当且仅当m=0时，等号成立，故C正确;
因为OA⋅OB=x1x2+y1y2=0，所以OA⊥OB，
所以△ABO的外心就是弦AB的中点，
记为M(x0,y0)，其中x0=x1+x22，y0=y1+y22．
由y12=8x1，y22=8x2以及y1y2=-64，
得x0=x1+x22=y12+y2216=(y1+y2)2-2y1y216=4y02+12816=y024+8，
所以直线OM的斜率k=y0x0=4y0y02+32．
要求直线OM的斜率的最大值，所以y0>0，
所以k=4y0y02+32=4y0+32y0≤42 y0⋅32y0= 24，
当且仅当y0=32y0，即y0=4 2时，等号成立，
所以直线OM的斜率的最大值为 24，故D正确．
故选ACD．
12.1
【解析】∵平面向量a与b的夹角为π3，|a|=2，|a+2b|=2 3，
∴a2+4a⋅b+4b2=4+4×2×|b|×csπ3+4|b|2=12，
则|b|=1，或|b|=-2 (舍去)，
故答案为：1．
13. 3
【解析】因为AC=(2,1,2)，所以|AC|= 4+1+4=3，
所以点C(1,3,5)到直线AB的距离为d= 32-AC⋅m|m|2= 9-(2+2+2 1+4+1)2= 3．
故答案为 3．
14. 102
【解析】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接OM，
由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则OM//BC，所以∠OMD=45∘．
由直线AB的斜率kAB=-3，得tan∠ODM=-3，
则直线OM的斜率kOM=tan(∠ODM+∠OMD)=tan∠ODM+tanπ41-tan∠ODMtanπ4=-3+11-(-3)×1=-12．
设A(x1,y1)⋅B(x2,y2).则x12a2-y12b2=1.x22a2-y22b2=1,
两式相减，得x12-x22a2-y12-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22·y1-y2x1-x2=b2a2，
即kOM⋅kAB=b2a2=-12×(-3)=32，
所以该双曲线的离心率e= 1+b2a2= 1+32= 102．
故答案为： 102．
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，又2a3+a4=46，S8=160，
所以2a3+a4=2(a1+2d)+a1+3d=46S8=8a1+8×7d2=160,
解得a1=6，d=4，
所以an=6+(n-1)⋅4=4n+2，
Sn=(6+4n+2)n2=2n2+4n;
(2)由(1)知bn=1Sn=12n(n+2)=14(1n-1n+2)，
所以Tn=14(1-13+12-14+13-15+⋯+1n-1n+2)
=14(32-1n+1-1n+2)
=38-14(1n+1+1n+2).
16.解：(1)因为PA⊥平面ABC，
AB，AC在平面ABC内，所以PA与AB，AC均垂直，
又因为AB⊥AC，所以AB，AC，AP两两互相垂直，
以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则可得以下各点坐标：
B(4,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,8)，E(2,0,0)，由于3BF=FP，因此F(3,0,2)，
设点Q(a,2-a2,0)，(0⩽a⩽4)，
所以CE=(2,-2,0)，FQ=(a-3,2-a2,-2)，BC=(-4,2,0)，
因为CE⋅FQ=2(a-3)-2(2-a2)=0，
解得a=103，Q103,13,0⇒BQ=-23,13,0⇒BQ=16BC，
所以点Q在线段BC上且BQ=16BC的位置；
(2)由(1)可知，FQ=(13,13,-2)，
设平面CEP的法向量n=(x0,y0,z0)，
CP=(0,-2,8)，CE=(2,-2,0)，
则n⋅CP=-2y0+8z0=0n⋅CE=2x0-2y0=0,
不妨取y0=1，得n=(1,1,14)，
设直线FQ与平面CEP所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|n⋅FQ|n|FQ|=16 1+1+116· 19+19+4= 1254627，
所以直线FQ与平面CEP所成角的正弦值为 1254627．
17.解：(1)因为点P(1,2)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点，所以22=2p×1，解得p=2，所以C的标准方程为y2=4x；
(2)显然直线PM、PN的斜率存在且k≠0，设直线PM的方程为y-2=k(x-1)，则直线PN的方程为y-2=-k(x-1)，由y2=4xy-2=k(x-1)，得ky2-4y+8-4k=0，所以yMyP=8-4kk，解得yM=4-2kk，同理可得yN=-4+2kk，所以kMN=yM-yNxM-xN=yM-yNyM24-yN24=4yM+yN=44-2kk+(-4+2kk)=-1，即直线MN的斜率为定值，该定值为-1．
18.解：(1)因为a1+a22+a322+⋯+an2n-1=nan+12n，
所以当n≥2时，a1+a22+a322+⋯+an-12n-2=(n-1)an2n-1，
所以an2n-1=nan+12n-(n-1)an2n-1(n≥2)，
所以2an=nan+1-2(n-1)an，所以an+1=2an(n≥2)，
又a1=2，a2=2a1，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n，
因为点P(bn,bn+1)在函数y=x+2的图象上，所以bn+1=bn+2，即bn+1-bn=2，又b1=2，
所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，所以bn=b1+2(n-1)=2n；
(2)因为bn=2n是所有的正偶数，又an+bn2=2n+n，
所以cn=22n+2n，
所以Tn=c1+c2+c3+⋯+cn=22+2+24+4+26+6+⋯+22n+2n
=22+24+26+⋯+22n+2+4+6+⋯+2n=4(1-4n)1-4+(2+2n)n2=4n+1-43+n2+n．
19解：(1)由题意知4 a2+b2=4 32c=2c2=a2-b2，解得a= 2，b=1，c=1，所以C的标准方程为x22+y2=1；
(2)由题意知直线AB的方程为y=kx+2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=kx+2x22+y2=1，得(2k2+1)x2+8kx+6=0，
所以Δ=(8k)2-24(2k2+1)=16k2-24>0，解得k2>32，所以x1+x2=-8k2k2+1，x1x2=62k2+1，
所以|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2⋅ (-8k2k2+1)2-4⋅62k2+1=2 (1+k2)(4k2-6)2k2+1，
又点O到直线AB的距离d=2 1+k2，
所以△OAB的面积S=12|AB|d=12⋅2 (1+k2)(4k2-6)2k2+1．2 1+k2=2 4k2-62k2+1=2 67，解得k2=3或k2=256，所以k= 3或k=- 3或k=5 66或k=-5 66，
所以直线AB的方程为y= 3x+2或y=- 3x+2或y=5 66x+2或y=-5 66x+2；
(3)由(2)可得：设M(m,n)，因为B1，A，M在同一条直线上，所以n-1m=y1-1x1=kx1+1x1=k+1x1，
又B2，M，B在同一条直线上，所以n+1m=y2+1x2=kx2+3x2=k+3x2，所以n+1m+3⋅n-1m=4k+3(x1+x2)x1x2=4k+3⋅(-8k2k2+1)62k2+1=0，
所以n=12，所以点M在直线y=12上，所以|MA1|min=12．