湖南省株洲市第三中学2024-2025学年高一上学期期末质量检测考试数学试卷(Word版附解析)
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这是一份湖南省株洲市第三中学2024-2025学年高一上学期期末质量检测考试数学试卷(Word版附解析),共12页。试卷主要包含了已知集合,则,函数的定义域为,已知是第四象限角,且,则,若,设,则的大小关系为,已知,则下列不等式恒成立的是,已知函数,则下列结论正确的是等内容,欢迎下载使用。
时量:120分钟 满分:150分
得分:__________.
一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.已知集合,则( )
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知是第四象限角,且,则( )
A. B. C. D.
4.若,设,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
5.若函数在区间上存在零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.若函数的图象的两个对称中心的最短距离为,则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数,且为自然对数的底数,则下列命题中真命题的个数为( )
①的最大值为1;
②;
③;
④方程有唯一实数根.( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知函数若存在最小值,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知,则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.在区间上单调递增
B.的图象关于点对称
C.若,则的最小值为
D.若,则
11.已知奇函数的定义域为,且,若对于任意的且,都有
,则( )
A.的图象关于直线对称
B.4为函数的一个周期
C.在区间上单调递减
D.当且时,恒有
三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)
12.计算:__________.
13.鲁洛克斯三角形(又称勒洛三角形)是一种特殊三角形,具有神奇的性质,在机械加工业上有广泛的应用,它可以用来制作车轮、钻出方形孔等,分别以正三角形的顶点为圆心,边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图是一个鲁洛克斯三角形,其中的长度为,则中间正三角形的面积为__________.
14.已知函数若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围是__________,若这四个零点有如下关系,,则的取值范围是__________.
四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本题满分13分)
已知角,角的终边过点.
(1)求与的值;
(2)求的值.
16.(本题满分15分)
设函数.
(1)若,证明:函数为奇函数;
(2)若,对任意,使得成立,求实数的取值范围.
17.(本题满分15分)
近年来,伴随着骑行运动的蓬勃兴起,越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中,“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明:骑行运动一般分为两个阶段,第一阶段为前1小时的稳定阶段,第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练,假设其稳定阶段是速度为的匀速运动,该阶段每千克体重消耗体力(表示该阶段所用时间),调整阶段由于体力消耗过大,速度变为的减速运动(表示该阶段所用时间).调整阶段速度降低,体力得到一定恢复,该阶段每千克体重消耗体力,已知该运动员初始体力为,不考虑其他因素,所用时间为(单位:h),请回答下列问题:
(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数;
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值,最低值为多少?
18.(本题满分17分)
已知函数的图象关于点对称,
且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的值域;
(3)将函数的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,记方程在区间上的根从小到大依次为,,求的值.
19.(本题满分17分)
已知定义域为的函数,若存在实数,使得对任意,都存在满足,则称函数具有性质.
(1)判断下列函数是否具有性质,并说明理由;
①;②.
(2)若函数在区间上具有性质,求实数的取值范围;
(3)若存在唯一的实数,使得函数,在区间上具有性质,求实数的值.
2024年高一第一学期期来质量捡测考试
数学参考答案
一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.A 【解析】,故选A.
2.C 【解析】由题意得,解得,故选C.
3.B 【解析】,由是第四象限角得,故选B.
4.C 【解析】,故选C.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
C
B
A
C
D
BC
ACD
ABD
5.B 【解析】在区间上单调递增,且存在零点,得,故选B.
6.A 【解析】设函数的最小正周期为,由题意可知,可得,
则,故选A.
7.C 【解析】由题意可知又分别是定义在上的奇函数和偶函数,
则解得,故①错误;,故②错误;
,故③正确;
,
,解得,故④正确.故选C.
8.D 【解析】在上单调递减,且,而在上单调递增,要使存在最小值,结合分段函数的图象可得:,即,故选D.
二、多选题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.BC 【解析】对于A,,但与不能比较大小,故A不一定成立;
对于B,,故B成立;对于C,由题意得,故C成立;
对于D,由,但符号不确定,故D不一定成立.
10.ACD 【解析】选项A:令,解得,故的单调递增区间为,取,则在区间上单调递增,故选项A正确;选项B:令,则,
取,则有,因此的图象关于点对称,故选项B不正确;
选项C:若,则在和处分别取最大值和最小值,因此,故,选项C正确;
选项D:若,则是函数的零点,
故,选项D正确.
11.ABD 【解析】选项A:因为是定义在上的奇函数,所以函数的图象关于原点对称,由,得的图象关于直线对称,由对称性可知,函数的图象关于点成中心对称,故A正确;
选项B:由与,得,
所以,则4为函数的一个周期,故B正确;
选项C:因为对于任意的且,都有,所以在区间上单调递减,又函数的图象关于点中心对称,则在上单调递减,所以在区间上单调递减,因为的图象关于直线对称,则在区间上单调递增,故C错误;
选项D:由上可知点是的对称中心,又因为,所以,故D正确.
三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)
12.6 【解析】原式.
13. 【解析】设中间正三角形的边长为,则有,解得,所以.
14. (第1空2分,第2空3分)
【解析】由图象可知,要使函数有四个不同的零点,即方程有四个不同的解,则需.
由二次函数的对称性可知,,由对数函数的图象及性质可知,,则
,函数在上递减,在上递增,故其值域为.
四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.【解析】(1).
由三角函数的定义,.
(2),
,
,
,
所以.
16.【解析】(1)当时,函数,
因为,则,所以的定义域为,
对任意,有,
所以是奇函数.
(2)当时,在上单调递增,证明如下:
证明:(法一)当时,恒成立,故函数定义域为,
任取,且,则,
因为,
所以在上单调递增.
(法二)当时,函数在上单调递增,则函数在上单调递减,
从而函数在上单调递增.
因为对任意恒成立,所以恒成立,
①当时,显然成立;
②当时,得.
综上所述,实数的取值范围为.
17.【解析】(1)由题意写出速度关于时间的函数
代入与公式可得
即
(2)①稳定阶段中单调递减,此过程中;
②调整阶段,
则有,
当且仅当,即时,等号成立,
所以调整阶段中体力最低值为,
由于,
因此该运动员在时,体力达到最低值,为.
18.【解析】(1)由题意,函数,因为图象的相邻两条对称轴间的距离为,所以最小正周期,可得,
因为函数的图象关于点对称,所以图象过点,可得,
所以,因为,所以,所以函数.
(2),
令,
则,所以原函数可化为,
因为对称轴是直线,所以当时,,
当时,,
即的值域是.
(3)将函数的图象向右平移个单位长度,可得,
再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数,
(法一)由方程,可得,所以,或,
即或,
因为,且,
所以,符合题意,
所以.
(法二)对于方程,方程的根可以转化成在区间上的零点,由的图象可知函数有6个零点,且相邻的两个零点关于对称轴对称.
令,得,
因为,所以这五条对称轴分别为,
所以
.
19.【解析】(1)①函数不具有性质.理由如下:
对于,取,对于任意,有,所以不存在满足,所以函数不具有性质.
②函数具有性质.理由如下:
因为的定义域与值域均为,
所以对于任意,有,
则必存在,使得,即成立.
所以函数具有性质.
(2)因为函数在区间上具有性质,
所以对任意,都存在使得,即,可得,
因为,所以,又,所以,
即解得,
所以实数的取值范围为.
(3)由题意,对于任意,存在满足,所以,
由,则,设的值域为,则.
(i):当时,的值域为,此时,
解得,不符合题意;
(ii):当时,图象的对称轴为,开口向上且,
值域为,此时,解得,不符合题意;
(iii):当时,的对称轴为,开口向下,
①当,即时,
,值域为,
所以,得到
由的唯一性,得,解得或(舍去),
②当,即时,
,值域为,
所以,得到
由的唯一性,得,解得,不符合题意.
③当,即时,
,值域为,
所以,得到
由的唯一性,得,解得,符合题意.
综上所述,或.
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