【高考数学】二轮优化提优专题训练：专题09 利用导数研究函数的性质

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1、（2023年全国甲卷数学（文））曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
4、（2023年全国乙卷数学（文））．函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，则，
若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，
令，解得或，
且当时，，
当，，
故的极大值为，极小值为，
若要存在3个零点，则，即，解得，
故选：B.
5、（2023年全国乙卷数学（理））设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
【答案】
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：
6、【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】 y=1ex y=−1ex
【解析】 因为y=lnx，
当x>0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x0得x>33或x