【高考数学】二轮优化提优专题训练：专题10 导数的综合运用

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1、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x10，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若00,f(x)单调递增f(x)≥f(1)=e+1−a，
若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1
所以a的取值范围为(−∞,e+1]
(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设x10
下面证明x>1时，exx−xe1x>0,lnx−12(x−1x)1，
则g'(x)=(1x−1x2)ex−(e1x+xe1x⋅(−1x2))=1x(1−1x)ex−e1x(1−1x)
=(1−1x)(exx−e1x)=x−1x(exx−e1x)
设φ(x)=exx(x>1),φ'(x)=(1x−1x2)ex=x−1x2ex>0
所以φ(x)>φ(1)=e,而e1x0,所以g'(x)>0
所以g(x)在(1,+∞)单调递增
即g(x)>g(1)=0,所以exx−xe1x>0
令ℎ(x)=lnx−12(x−1x),x>1
ℎ'(x)=1x−12(1+1x2)=2x−x2−12x2=−(x−1)22x20
所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)0
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0
故f(x)在(0,+∞)上没有零点,不合题意
3°若a0,f(x)单调递增
所以当x∈(0,m),f(x)0
所以g'(x)在(−1,0)单调递增g'(−1)=1e+2a0,g(x)单调递增,g(x)0的解集为1e,+∞；
B．函数在0,e单调递增，在e,+∞单调递减；
C．当x∈1e,1时，总有fx0，函数为增函数，
当x∈(1,+∞)时，g'(x)