【高考数学】二轮优化提优专题训练：专题12 运用空间向量研究立体几何问题（1）

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1、（2023年全国甲卷数学（理））在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)求证：；
(2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．
2、（2023年新课标全国Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
4、（2023年全国乙卷数学(理)（文））如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
5、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
6、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
7、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．
(1)求A到平面A1BC的距离；
(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．
8、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．
题组一、线面角
1-1、（2023·安徽宿州·统考一模）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，为棱靠近点的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角的正弦值.
1-2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F，G分别为AC，，的中点，．(1)求证：；
(2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为，求AD的长．
1-3、（2023·山西晋中·统考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是的重心．
(1)求证：平面PCD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，且，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值．
题组二、面面角
2-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点.(1)证明：∥平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
2-2、（2023·山西临汾·统考一模）在三棱锥中，，，，取直线与的方向向量分别为，，若与夹角为.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
2-3、（2023·云南红河·统考一模）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，，，AF⊥平面ABCD，．
(1)求证：CD⊥平面ADF；
(2)若，，求平面和平面的夹角的余弦值．
题组三、线面角与面面角的综合
3-1、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.
(1)求证：；
3-2、（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，在三棱柱中，D为AC的中点，AB=BC=2，.
(1)证明：；
(2)若，且满足：三棱柱的体积为，二面角的大小为60°，求二面角的正弦值.
1、（2022·山东青岛·高三期末）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，M为BC中点，且.
（1）求证：面面PDB；
（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.
2、（2022·山东德州·高三期末）如图，在直三棱柱中，，，点Q为BC的中点，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若直线AC与平面所成角的大小为30°，求锐二面角的大小.
3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点．
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若二面角的余弦值为，求a的值；
(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
4、（2023·湖北·校联考三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面．
(1)证明：为圆柱底面的直径；
(2)若M为中点，N为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
6、（2023·江苏南通·统考一模）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.