上海市青浦区2025届高三上学期期终学业质量调研（一模）数学试卷（解析版）

这是一份上海市青浦区2025届高三上学期期终学业质量调研（一模）数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本试卷包括试题纸和答题纸两部分，可使用符合规定的计算器答题，已知直线与直线平行，则____等内容，欢迎下载使用。
学生注意:
1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分.
2.在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.
3.可使用符合规定的计算器答题.
一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.在复平面内，复数（其中是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第_____象限.
【答案】四
【解析】因为，
所以，
所以复数对应的点在第四象限.
故答案为：四
2.已知集合，则_____.
【答案】
【解析】因为，
所以，
故答案为:.
3.不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】不等式化为：，即，
则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
4.已知直线与直线平行，则____.
【答案】1
【解析】因为与平行，所以，解得或.
当时，直线，直线，两直线平行.
当时，直线，直线，化简为，
此时两直线重合，不符合要求，舍去.
故答案为：1.
5.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为_____.
【答案】
【解析】两条渐近线互相垂直，由对称性可知，两渐近线的倾斜角分别为，
渐近线方程为，故，
所以渐近线的离心率为.
故答案为：
6.已知数列满足，则__________.
【答案】
【解析】因为①，
当时，②，
①②得，所以，
所以.
故答案为：
7.在中，已知，若，则的面积为______.
【答案】
【解析】在中，，，
由余弦定理得，
解得，
所以的面积为.
故答案为：
8.已知圆柱的底面半径为3，高为，圆锥的底面直径和母线长相等.若圆柱和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为_____.
【答案】3
【解析】圆柱的体积为，
设圆锥的底面半径为，则母线长为，故圆锥的高为，
则，故，解得，
故圆锥的底面半径为3.
故答案为：3
9.的展开式中，项的系数为_____.
【答案】
【解析】展开式的通项为，，
所以含的项为，即项的系数为.
故答案为：
10.已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有_____个.
【答案】14
【解析】由函数定义，转化为给安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数，
给取3个自变量，则对应1个自变量，有种，
给取2个自变量，则对应2个自变量，有种，
给取1个自变量，则对应3个自变量，有种，
所以由分类加法计数原理知，共有种不同的对应方式，
故答案为：14
11.已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】等价于在上的投影，
如图1，在单位圆圆上任取两点、，
则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小，
作于点，设，取中点，有，
则，，则，
由，故；
如图2，在单位圆圆上任取两点、，
则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大，
作于点，设，取中点，有，
则，，则，
由，故；
综上所述，.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
12.已知且满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】对A，取，则，A错误；
对B，取，则，即，B错误；
对C，取，满足，但，C错误；
对D，因为幂函数在定义域R上单调递增，且，所以，D正确；
故选：D.
13.若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（ ）．
A.关于xOz平面对称B.关于x轴对称
C.关于y轴对称D.关于坐标原点对称
【答案】D
【解析】点关于xOy的对称点为A，则A坐标；
点关于z轴的对称点为B，则B坐标；
则根据坐标特点知道A、B两点关于原点对称.
故选：D．
14.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则关于函数在R上的零点的说法正确的是（ ）.
A.有4个零点，其中只有一个零点在区间上
B.有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上
C.有5个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间上
D.有5个零点，都不在上
【答案】D
【解析】由于函数是定义在R上的奇函数，故，即0是函数的一个零点；
当时，，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
即此时函数在和内各有一个零点，在上无零点，
又函数是定义在R上的奇函数，
故函数在和也内各有一个零点，
综合上述可知函数有5个零点，都不在上
故选：D
15.对于数列，设数列的前项和为，给出下列两个命题:①存在函数，使得;②存在函数，使得.则①是②的（ ）.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】取，存在，使得成立，
此时由函数定义知，不存在函数，使得，
当存在函数，使得成立时，
由于与为一一对应关系，所以就可以写成反函数，
即可以用表示，即存在函数，
所以存在，
综上可知，①是②的必要不充分条件.
故选：B
二、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤。
16.已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若，且，求的值.
解：（Ⅰ）因为
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
（Ⅱ）因为，所以.
因为，所以，即.
所以，故
17.如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
证明：（1）因为、分别为线段、上的点，且，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为，所以，
所以，，连接，又，
所以，所以，又，
所以，所以，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面.
18.第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表:（单位:个）
现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中款产品有30个.
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率;
（3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差（精确到0.01）.
解：（1）由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为
现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个，
则，解得.
（2）设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得
所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品.
因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为
（3）由题意，某项指标总体的平均数为，
所以由分层抽样的总体方差公式可得
19.已知椭圆为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点.
（1）若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
（2）设点，当时，求点的坐标；
（3）设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围.
解：（1）由题意可知，，
∴F1,0,又∵当直线垂直于轴时，直线的方程为，
由得，，
∴弦AB的长为.
（2）∵，且直线过点F，
∴，在中，，
∴斜边PF的中点，恰为椭圆的左焦点,
∴,又由椭圆的定义可得，
∴点在线段的垂直平分线上，又在椭圆上，
∴为椭圆的上顶点或下顶点，
∴或.
（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设，
∴，
故；
当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则直线AB：y=kx-1，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
由得，，
∴，
∴，
化简得，
①当，，当且仅当时等式成立；
②当，，当且仅当时等式成立；
③当，；
综上所述可得，的取值范围为.
20.已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于在点处的切线的斜率?若存在，求出所有满足条件的点的坐标;若不存在，说明理由;
（3）证明:函数图像上任意一点都不落在函数图像的下方
（1）解：定义域为，，
显然在上严格增，且.
所以当时，；当时，.
的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：，假设存在三点满足条件，
设三点的横坐标分别为
则，，
即，即，令，则，
当且仅当时等号成立，所以严格增，只有一个零点，矛盾，
所以不存在满足条件的三点.
（3）证明：令，只需证明当时，恒成立.
由，
当时，显然严格增，
当是，分两段，
①当时，，所以；
②当时，，
令，则，再令，
则，当时，，所以单调递增，
所以，即，所以单调递增，
所以，所以，，
综上可知，，
所以图像上任意一点都不落在函数图像的下方.产品
产品
产品
普通装
180
400
精品装
300
420
600