湖北省武汉市蔡甸区2024-2025学年九年级上学期期中 数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市蔡甸区2024-2025学年九年级上学期期中 数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 2，B. 2，5C. ，D. -2，5
【答案】A
【解析】解：，
∴，
常数项为，二次项系数和一次项系数分别是2，，
故选：A．
2. 抛物线的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
3. 以下是2024年巴黎奥运会部分项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则B不符合题意；
C、不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则C不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则D符合题意；
故选：D．
4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
∴，即．
故选：C．
5. 某超市一月份的营业额为万元，已知第一季度的总营业额共万元．如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意得，二月份营业额为，
三月份的营业额为，
∴．
故选：D．
6. 抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
所得图象的解析式为，
即，
，
故选：C．
7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点G，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据旋转可得：，，
，
，
，
故选：B．
8. 已知点在二次函数的图象上，二次函数图象与y轴的交点在负半轴，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴对称轴是直线，
∵二次函数图象与y轴的交点在负半轴，
∴，
∴，
∴二次函数的开口向下，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵关于直线x=1的对称点为，且，
∴．
故选：B．
9. 第十四届国际数学教育大会（ICME-14 )在中国上海举行，会徽（如图）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制是，表示ICME-14 的举办年份．小婷设计了一个m进制数165，换算成十进制数是96，则m的值为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 7
【答案】D
【解析】解：由题意得，
，
∴，
，
∴，（舍去），
故选：D．
10. 抛物线在直线下方的图像上恰好有五个横坐标为整数的点，则k的值不可能是（ ）
A. B. C. 13D.
【答案】C
【解析】解：将抛物线和直线联立，
得，即：，
，
化简，得，
解得：，，
当时，
∵抛物线在直线下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，
∴这五个点的横坐标为，，，，，
∴，
解得，
∴的值可以是，，
故选项A，B不符合题意；
当时，
∵抛物线在直线下方的图象上恰好有五个横坐标为整数的点，
∴这五个点横坐标为，，，，，
，
解得
∴的值不可以是，可以是，
故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 点关于原点的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
12. 若一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为_______．
【答案】7
【解析】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，，
∴，
故答案为：7．
13. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 ____个足球队参赛．
【答案】8
【解析】解：设应该邀请个足球队参赛，
由题意得：，
解得：或（舍去），
即应邀请8个足球队参赛．
故答案为：8．
14. 将抛物线向下平移k个单位后与坐标轴仅有两个交点，则__________．
【答案】2或3
【解析】解：将抛物线向下平移k个单位后的解析式为，
，
∵此时抛物线与坐标轴仅有两个交点，
∴此时抛物线正好经过原点或抛物线的顶点在x轴上，
当平移后抛物线正好经过原点时，把代入
得：，
解得；
当平移后抛物线的顶点在x轴上时，
由的顶点为，
则，
解得，
综上可知，或3，
故答案为：2或3．
15. 如图，在中，，，点P，Q分别为边，上的动点，且，．当的值最小时，的长为_____________________．
【答案】
【解析】解：过点作，且，连接，连接交于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
则，
在等腰直角中，，
在和中，
，
，
，，
，
即的最小值即为的长，此时点与点重合，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理得：，
，
或（舍去），
，
，
，
，
，
，
解得：，
∴当的值最小时，的长为．
故答案为：．
16. 已知抛物线的y与x的部分对应值如表：
下列结论：
①对称轴为直线x=-1；
②方程有两个不相等的实数根；
③若点，均在二次函数图象上，则；
④满足的x的取值范围是或x>1．
其中正确结论的序号为 ________．
【答案】①③④
【解析】解：把，，代入得，
，
解得，
∴，
∴对称轴为直线，故正确；
∵，，，
∴，即为，
∴，
∵，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故错误；
∵与时函数值相等，等于，
∴当时， 的取值范围为，故错误；
∵，
∴点，关于对称轴对称，
∴，故正确；
由得，
即，
画函数和图象如下：
由，解得，，
∴A-4,0，，
由图形可得，当或时，，即，故错误；
综上，正确的结论为，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. 解方程：
（1）(配方法)；
（2） (公式法).
解：（1），
，
，
，
∴，；
（2）∵，，，
∴ 0 ，
∴，
∴，．
18. 如图，用一段长为32米的篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长为14米，若矩形菜园的面积为96米，求矩形菜园垂直于墙的边长．
解：设垂直于墙的边长为x米，根据题意得，
；
解得，
∵墙长14米，
∴，
解得，
∴
答：矩形菜园垂直于墙的边长为12米．
19. 如图，在中，，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
解：（1）证明：∵，
∴，
由旋转知，
∴，
又，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由旋转知，
∴等边三角形，
∴.
20. 抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C．
（1）点C坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）不等式的解集是 ；
（3）当x满足时，y的取值范围是 ．
（4）当y满足时，x的取值范围是 ．
解：（1）把代入得，，
∴点坐标为，
∵，
∴顶点坐标，
故答案为：；
（2）把代入得，，
解得：，
，
由图象可得，当或时，，即，
∴不等式的解集是或，
故答案为：或；
（3）当时，，
当时，，
顶点为，开口向上，
∴当时，，
故答案为：；
（4）把代入得，，
解得：，
∴当时，或，
故答案为：或．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过四条．
（1）在图（1）中，先画格点D，使得于E；
（2）在（1）的基础上，在射线上画一点F，使得；
（3）在图（2）中，先画点P，使点A绕点P逆时针旋转得点C，连接交于G；
（4）在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画出对应线段（点B与点M对应，点C与点N对应）．
解：（1）
如图，取格点D，连接，交于，即为所求；
证明：在中，
，
，
，
，
，
．
（2）
证明：将向右平移4个单位交射线于点F，连接，即为所求；
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
（3）
证明：如图，取格点P，连接交于G；
，
，
，
，
，
．
（4）
将向右平移4个单位交射线于点M，
，
，
同理，
，
又，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
所以即为所求．
22. 为适应武汉市体育新中考改革，学校购入一台羽毛球发球机，羽毛球球网飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离球网水平距离的点O处，球从点O正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．身高为小明同学站在球网另一侧，且距离球网的水平距离处(如图所示)，在头顶正上方至处称为有效击球高度﹒(球网高度不影响有效击球)
（1）直接写出y与x的函数关系式（不必写自变量x的取值范围);
（2）试判断小明能否在原地有效击球，说明理由．
（3）为确保能够有效击球，当羽毛球在空中飞到最大高度时，小明决定向后退行．当羽毛球在空中飞到最大高度后，其飞行的水平速度保持为，此时小明必须在多长的时间内后退，使羽毛球恰好在头顶上方且完成有效击球？
解：（1）由题意得：点的坐标为，
．
解得：，
与的函数关系式为：；
（2）小明不能在原地有效击球．理由如下：
小明所在位置距离原点为：，
当时，，
∵，在头顶正上方至处称为有效击球高度，
小明不能在原地有效击球；
（3）当小明后退1米时，，此时，
，在头顶正上方至处称为有效击球高度，
小明此时为有效击球，
∵与的函数关系式为：，
∴当羽毛球在空中飞到最大高度时，
∴羽毛球从最高处到小明后退位置飞行的水平距离为：，
羽毛球的飞行时间，即小明的后退需要的最长的时间为：，
答：小明必须在内后退．
23. 在和中，，，，，点F是线段的中点，连接．
（1）若D在上，
①如图1，点E恰好落在上，请探究线段与BD的数量关系；
②如图2，试探究线段与BD的数量关系；
（2）如图3，，点D不在上，，，，直接写出的面积是————·
解：（1）①BD，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点F是线段的中点，
∴，
∵，
∴；
②BD，理由如下：
延长至S，使，连接，如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴BD；
（2）延长DE至S，使，连接，，过点D作于点T．如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
同上可证，
∴．
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
24. 已知抛物线与x轴交于M、P两点，其中．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，N为抛物线第二象限一点，若，求N点坐标；
（3）如图2，点E为直线上一点，过E的直线、与抛物线均只有唯一公共点，连交直线于点D，若，求E点坐标．
解：（1）将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）当时，，即点，
当时，解得，则，
作轴，作交于，交于，则，
∵，
∴，
∴点、关于对称，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，代入和得，
解得，∴直线的表达式为，
联立得：，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）设Ax1,y1，Bx2,y2，
∵交直线于点，
∴设直线的表达式为：，
联立得：
则，，
设直线的表达式为：，
联立得：，
由题意得：，
∴，
∴，
解得：，即，
则，
∴直线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，则，
∴，，
∴，即点．