2024-2025学年广西壮族自治区高三上学期12月模拟考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区高三上学期12月模拟考试数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ）
A．2B．3C．D．
3．某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在范围内的人数为60，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为200
B．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为
C．估计学生成绩的第75百分位数为80分
D．总体分布在的频数与总体分布在的频数相等
4．函数在区间上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线与直线，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
6．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线交的左支于，两点.（为坐标原点），点到直线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（ ）
A．B．C．D．3
8．已知，若函数，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．3
二、多选题（本大题共3小题）
9．设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（ ）
A．的图象过点
B．在上是减函数
C．的最大值与的取值有关
D．的一个对称中心是
10．已知函数，则（ ）
A．必有两个极值点
B．存在实数使得
C．点是曲线的对称中心
D．若曲线有两条过点的切线，则或
11．法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若点在椭圆上，且直线的斜率之和为0，则直线的斜率为
C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为
D．面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是角终边上的一个点，将绕原点顺时针旋转至，则点的坐标为 .
13．已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项.
14．箱子里有大小相同的4种点数不同的纸牌各若干张，每次从中摸出4张纸牌为一组，其中摸出恰有3种点数组合纸牌的不同取法为 种：若要保证至少有2组纸牌的点数组合是一样的，则至少要摸出 组纸牌.（两空均用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．在锐角中，内角对边分别为，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
16．为了调查某校学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：
(1)计算的值，并依据小概率值的独立性检验，判断性别与喜欢跑步是否有关？
(2)从上述的200名学生中按性别比例用分层抽样的方法抽取10名学生，再在这10人中抽取3人调查其是否喜欢跑步，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
附：
17．如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足.
(1)求证：四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和；
(3)求的面积.
19．给出下列两个定义：I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，并说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知函数.
（i）若的“自导函数”是，试求的取值范围；
（ii）若，且定义，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以在复平面内对应的点，位于第三象限.
故选：C
2．【正确答案】C
【详解】设的夹角为，由题意得，，
所以，
故选：C
3．【正确答案】C
【详解】，解得，
所以成绩在范围内的频率为，人，故A错误；
，所以这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为，故B错误；
成绩在的频率为，
所以估计学生成绩的第75百分位数为80分，故C正确；
样本分布在的频数与样本分布在的频数相等，
但总体分布在的频数与总体分布在的频数不一定相等，故D错误．
故选：C
4．【正确答案】B
【详解】因为，，
所以，
所以的图象关于点的中心对称，故排除C，D，
又，故排除A.
故选：B
5．【正确答案】A
【详解】因为直线与直线，
若，则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
6．【正确答案】D
【详解】令双曲线的半焦距为，取的中点，连接，由，
得，则，连接，由为的中点，得，
所以，，，
因此，即，整理得，
所以离心率．
故选：D
7．【正确答案】D
【详解】设正八面体的棱长为a，正八面体的中心到顶点的距离就是外接球半径R，
∴中心到面的距离就是内切球半径r,
正八面体的体积，
，解得
根据球的表面积公式，外接球表面积，
内切球表面积；
则外接球与内切球表面积之比
故选：D
8．【正确答案】B
【详解】函数，等价于，
即在R上恒成立，
即，.则，
令，对其求导得，
当在上单调递减，当在单调递增，
所以
故选：B
9．【正确答案】ACD
【详解】函数的最小正周期是，，，
又的图象关于直线对称，，，
又，，，
，图象过，故A正确；
的正负未知，故无法确定的单调性，故B错误；
显然的最大值与的取值有关，故C正确；
，是的一个对称中心，故D正确．
故选：ACD
10．【正确答案】BCD
【详解】对于A，因为，当时，有两个不相等实数根，所以有两个极值点，
当时，f′x≥0恒成立，所以无极值点，故A错误；
对于B，，令，则，
令，，当时，
根据函数零点存在定理，存在实数使得，故B正确；
对于C，由，知的图象关于中心对称，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，过的切线的切点为，
切线斜率为，则切线方程为，
把点代入可得，化简可得，
令，则，令可得或，
在和上大于零，所以在和上单调递增，
在上小于零，所以在单调递减，
要使有两个解，一个极值一定为0，
若函数在极值点时的函数值，可得，
若函数在极值点时的函数值，可得，
所以若曲线y=fx有两条过点2,1的切线，则或，故D正确．
故选：BCD
11．【正确答案】AB
【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆上，
所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确；
对于B，由可知，又过点，所以，解得，
所以椭圆方程为，
因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，
所以直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，
设，则，，，，
所以，所以，
又，，所以，故B正确；
对于C，设，椭圆的左焦点为，连接，
因为，即，
所以，
又，所以，
所以则到左焦点的距离的最小值为，故C不正确；
对于D，因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，则，
设点到的距离为，则，
所以面积，故D不正确；
故选：AB
12．【正确答案】
【详解】设，因为，
由正切函数定义可得，解得；
，
所以，
，
即点Q的坐标为.
故．
13．【正确答案】
【详解】，，
且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数，
，且，，，所以数列中最小的项是第项.
故．
14．【正确答案】
【详解】先计算取出一组的类型取法数，
取一组有1种点数的取法数：，
取一组有2种点数的取法数：，
取一组有3种点数的取法数：，
取一组有4种点数的取法数：，故共有种不同的组合取法．
此时最不利的情况即每种组合各取一次，
接着再取一组，就一定可以保证有2组纸牌的点数组合一样，即所求为种．
故12；36．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理可得，
所以，即，
又，所以，
因为，所以；
（2）由（1）知
，
因为，
，，
，
，即的取值范围为．
16．【正确答案】(1)，，，，无关；
(2)分布列见解析，期望为
【详解】（1），，，，
零假设为：性别与学生喜欢跑步无关，
由题意得
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据认为不成立，
所以判断性别与喜欢跑步无关；
（2）由题意，参与调查的200人中，女生有120人，男生有80人，
因为，按性别比例分层抽样抽出10人，则女生抽6人，男生抽4人，
从10人中随机抽取3人，则的取值可以为，
，
，
，
，
则随机变量的分布列为
．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，过作于，连接，，
则，，，
所以四边形是平行四边形，，
由得，，
又，，，所以，，，四点共面，
又，所以，，，四点共面；
（2）由已知得，如图，以为原点，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，则，，，
，，，
，，
设平面的法向量为，则由，得，
令得，，
又，，
设直线与平面所成角为，则．
18．【正确答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）因为点在抛物线上，则，解得，
所以抛物线的方程；
（2）由可知，，
因为点在抛物线上，则，且，
过，，且斜率为的直线，
联立方程，消去可得，
解得或，，可得，
所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以，
又，，
；
（3）由（2）可知：，，，
直线的方程为，
即，
点到直线的距离为，
，
所以的面积为．
19．【正确答案】(1)为“双向导函数”，其“自导函数”为，既不是“单向导函数”又不是“双向导函数”，理由见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，所以函数为“同定义函数”，
此时，，，满足，，
所以为“双向导函数”，其“自导函数”为；
对于函数，定义域为，则，又函数的定义域为，
这两个函数的定义域不相同，所以函数不是“同定义函数”，
即既不是“单向导函数”又不是“双向导函数”；
（2）（i）因为，所以，
依题意可得，
所以恒成立，所以，解得；
（ii）依题意可得，因为对于任意的，恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，；
当时，，
令，，则．
令,，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，
即在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，所以．
综上，实数的取值范围为．喜欢跑步
不喜欢跑步
合计
女生
90
120
男生
55
合计
145
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3