2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期第四次月考（12月）数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年贵州省遵义市高三上学期第四次月考（12月）数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．1
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．0
4．已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（ ）
A．200，24B．200，28C．100，24D．100，28
5．若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，均为等差数列，且，，则数列的前9项和为（ ）
A．45B．50C．54D．60
7．已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（ ）
A．5B．4C．D．
8．如图，正方体的棱长为4，，分别为棱，的中点，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．的最大值为
C．的最小正周期为D．的图象关于直线对称
11．笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出．如图，叶形线经过点，点Px0,y0在C上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与C有3个公共点B．若点P在第二象限，则
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，的系数为 .
13．已知，，，，则 .
14．已知是定义在上的奇函数，且当时，.若，，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：是等腰三角形.
(2)若，求的最大值.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为.
(1)求AE的长度；
(2)求二面角的正弦值.
17．某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响．
(1)求甲同学初赛被淘汰的概率；
(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望．
18．已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．
19．已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集.
(1)求函数在上的不动点集；
(2)若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围；
(3)若函数在上的不动点集为，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，所以.
故选：B
2．【正确答案】B
【详解】由，所以.
所以.
故选：B
3．【正确答案】A
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得.
故选：A
4．【正确答案】D
【详解】样本量为，
抽取的初中生人数为，
所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为.
故选：D
5．【正确答案】D
【详解】由，得，，
则的图象在点处的切线方程为，
由题意可知，
将代入切线方程，得，将代入切线方程，得，
因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，
所以，解得或，
当时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；
当时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意.
故.
故选：D
6．【正确答案】C
【详解】因，均为等差数列，且，，可得的公差为，
则，
而的前9项和为
.
故选：C.
7．【正确答案】A
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，
当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得PM=PF，
则.
故选：A.
8．【正确答案】D
【详解】因为为直角三角形，其外接圆圆心为的中点，
设的中点为，过作平面的垂线与交于点，
为三棱锥外接球的球心，，
三棱锥外接球的体积为.
故选：D
9．【正确答案】ABC
【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为.
对A：，，所以成立，故A符合题意；
对B：，，所以成立，故B符合题意；
对C：，，所以成立，故C符合题意；
对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意.
故选：ABC
10．【正确答案】AB
【详解】，则，
所以为奇函数，A正确.
，所
以的最小正周期不是，C不正确.
，
所以的图象不关于直线对称，D不正确.
，
显然，且，
当时，，
由，设，
根据基本不等式，，
当且仅当，即，等号成立，显然不成立，
则在单调递减，所以，即，
所以.
当时，，所以的最大值为，B正确.
故选：AB
11．【正确答案】BCD
【详解】因为叶形线经过点，所以．
联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，A错误．
．
因为点P在第二象限，所以，，
所以，B正确．
若点P在第四象限，则，可推出 ．
因为，
所以．当点P在第二、四象限时，，
所以．当点P是原点或在第一象限时，易得，
所以，C正确．
由，可得，解得，所以，D正确．
故选：BCD
12．【正确答案】
【详解】展开式的通项.
令，可得，则的系数为.
故
13．【正确答案】/
【详解】因为，，，，
所以，，即，.
故.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】当时，显然恒成立，
当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，
得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）.
当时，，可知当时，，
平移之后，当时，，当时，，
当时，由图象，
，，
可知，，解得；
当时，的图象始终在的图象的下方.
故的取值范围为.
故
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，
所以，是等腰三角形.
（2）由（1）知，所以，.
.
因为，所以.
.
，其中，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
16．【正确答案】(1)
(2)．
【详解】（1）设，则，该四棱锥的体积为，
解得，即，．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1,0,0，，，
，，，，
设，则，．
若，则，解得，即E为PC的中点．
连接AC，在中，；
（2）由（1）得，，．
设平面ABE的法向量为，
则即取，得n=0,1,−1．
设平面PBE的法向量为，
则即取，得．
设二面角的大小为，
则，所以，
所以二面角的正弦值为．
17．【正确答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为，
则甲同学初赛不被淘汰的概率为，
所以甲同学初赛被淘汰的概率为；
（2）由题意可取，
则，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
故.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以．
当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．
故椭圆C的标准方程为．
（2）
证明：设直线的方程为，，Px1,y1．
由得，
，，
所以，，
即点，
所以直线的方程为．
令，得．
又，所以直线的方程为．
令，得．
延长交于，延长交于．
由，得，则．
同理由，得，则．
因为，，显然，
所以．
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，
解得或，
故在0,+∞上的不动点集为.
（2）方法一：由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根.
即方程在只有一解.
因为是方程的解，所以方程在上无解.
作函数和，的图象，如下图：
由，，所以.
当或即或时，与，的图象只有一个交点.
所以的取值范围是.
方法二：由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根.
令，则.
若，则在上恒成立，φx在上单调递增.
因为，，所以φx在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点.
若，则在上恒成立，φx在上单调递减.
因为，，所以φx在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点.
若，易知是上的偶函数，且在上单调递增.
因为，，所以存在，使得，
则当和时，φ'x>0，φx单调递增，当时，φ'x