2024-2025学年河北省保定市高二上学期12月联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高二上学期12月联考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．与向量同向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线与直线平行，则（ ）
A．B．C．或D．或
3．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ）
A．15B．17C．21D．23
5．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．12B．18C．24D．32
6．在三棱柱中，已知，且为平面上一点，则三棱柱的高为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为为抛物线上一动点，点，记到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在棱长为1的正方体中，为正方体内一动点（包括表面），若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若点和点关于直线对称，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．的渐近线方程为
C．为定值D．
11．已知数列满足，，设数列的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．数列的最大项为
C．使得取得最小值的为7D．有最小值，无最大值
三、填空题（本大题共3小题）
12．在四面体中，空间的一个点M满足，若，，，四点共面，则 ．
13．已知，则关于的不等式的解集为 .
14．设是椭圆的两个焦点，为上一点.若为坐标原点，，且的面积等于8，则 ，a的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆的圆心在直线上，且点，在上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求.
16．已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的方程：
(2)若，求直线的方程.
17．记等差数列的前项和为，.
(1)证明：数列是等差数列.
(2)若数列满足，且，求的通项公式.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点.
(1)证明：平面平面.
(2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由.
(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值.
19．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式：，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆.
(2)在同一直角坐标系中，椭圆经平面直角坐标系中的伸缩变换得到曲线.
（i）求曲线的方程；
（ii）已知，过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为证明：线段PQ的中点为定点.
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，所以，
所以与向量同向的单位向量为.
故选.
2．【正确答案】D
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得或.
故选：D.
3．【正确答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，…，
故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项，
故选：A．
4．【正确答案】D
【详解】圆，圆心为，半径为，
圆可化为，圆心为，半径为，，
若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，
则，即，解得.
故选：D.
5．【正确答案】C
【详解】由，则，
由数列为等差数列，，故，
又，
故选：C.
6．【正确答案】B
【详解】由，
则，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，则，所以，
令，则，，所以是平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，故三棱柱的高为.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】
设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：，
所以，
当共线取得最小值.
故选：C
8．【正确答案】D
【详解】取的中点，正方体的中心为，
则，
若求的最值，即为求的最值，
以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
若，且，
可知点为三棱柱内一动点（包括表面），
因为，
则，即，
且，平面，可得平面，
又因为为的中点，即平面，
可知的最小值即为，
根据正方体的对称性可知：当点为或时，取到最大值，
即，可得，
所以的取值范围为.
故选：D.
9．【正确答案】AC
【详解】由题意知，的中点，即在直线上，
则可得，解得，
则直线，斜率为，
又直线与直线垂直，
则可得，解得，
故选：AC.
10．【正确答案】BCD
【详解】
因为是上位于第一象限内任意一点，所以不是定值，故错误；
因为离心率，所以，
所以，即，所以的渐近线方程为，故正确；
设Px,y，因为，，
因为点在上，所以，
所以，故正确；
，
因为是上位于第一象限内任意一点，所以，
所以，故正确.
故选.
11．【正确答案】ACD
【详解】对于，因为，所以，
，
所以数列是等差数列，故正确；
因为等差数列的首项为，公差为，
所以，
所以，
又因为，
当时，，，
所以数列的最大项为，所以不正确；
所以为7时最小，故正确；
由，可知，
，所以无最大值，
因为的负项只有有限个，，，，，
，，，
，所以有最小值，故正确.
故选.
12．【正确答案】
【详解】因为，，，四点共面，，
所以，
解得.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】设，，
如图：
的图象是的上半圆，
的图象是过点，斜率大于的直线，
当直线过时，斜率为，
因为斜率，所以直线不过点，又点在半圆上，
所以关于的不等式的解集为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】取的中点，连接，则，
因为为的中点，所以，，
则，所以，
由，得，
即，所以，
即，；
因为为上一点，且，
则的最大值要大于等于，
且当取最大值时，点位于椭圆的上下顶点，
设椭圆的上顶点为，
当，所以，
则，所以，
所以，所以，
即.
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设线段的中点为，则，
因为直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，
由得，
所以圆心，半径为，
所以圆的标准方程为；
（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
所以.
16．【正确答案】(1)
(2)，或
【详解】（1）由题意，，，（或）
所以，解得，（舍去），
所以抛物线的方程为：
（2）由（1），，设，
由题意知直线的斜率存在，
设其方程为，与抛物线方程联立，
可得，所以，
，解得，
所以直线的方程为，
即，或.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题设可得，
解得，，
所以.
则，
故可得，
又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，数列是以为首项，为公差的等差数列.
故可得，
由，，可得，
又，则，
当时，可得
，
，
，
，
累加可得，
可得，
又也符合上式，
故.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在点，使得平面，
(3)
【详解】（1）
连接，因为底面ABCD是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）存在点，当为中点时，平面，
理由如下：
取的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，
所以，，
又，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，
在直角三角形中，，
所以在直角三角形中，；
（3）
取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
设，
，，，，，
所以，，，，
，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
所以，
当时，，
当时，，
所以当时，最大，此时，
所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为.
19．【正确答案】(1)：
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）由椭圆，即，
由定义知，使得圆变换为椭圆，
则，
即伸缩变换：；
（2）（i）设椭圆上任意一点Mx,y经过伸缩变换，得到对应点.
将，代入，
得，化简得.
曲线的方程为.
（ii）
证明：由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，解得，
可得，
因为A−2,0，则直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点0,3.