2024-2025学年河南省信阳市高一上学期期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省信阳市高一上学期期末数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．8B．6C．5D．4
3．方程的根所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
5．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）．
A．1B．-1C．D．
6．某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，）
A．20B．16C．12D．7
7．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．8
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知函数的图像经过点，则（ ）
A．的图像经过点
B．的图像关于原点对称
C．若，则
D．当时，恒成立
10．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则具有性质（ ）
A．周期为B．图象关于直线对称
C．图象关于点对称D．在上单调递增
11．已知是的三个内角，下列条件是“”的一个充分不必要条件的为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知定义在上的奇函数满足：①；②当时，．下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．当时，
D．方程有个实数根
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则＝ ．
14．已知正数，满足，则的最小值为 .
15．数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数也可以表示成，则 .
16．已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．化简下面两个题：
(1)已知角终边上一点，求的值；
(2)已知，求的值.
18．已知命题：，成立；命题：有两个负根.
(1)若命题为真命题，求的取值范围.
(2)若命题和命题有且只有一个是真命题，求的取值范围.
19．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解不等式.
20．已知.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调增区间；
(3)当时，求的值域.
21．已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．

(1)求关于的函数解析式，并求出定义域；
(2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？
22．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若方程只有一个解，求的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案.
【详解】因为全集， 集合，
所以，
又因为集合，所以，
故选：D.
2．【正确答案】D
【分析】利用扇形弧长公式列方程组即可求解.
【详解】不妨设扇形的弧长为，所对的圆心角的弧度数为，
则有，即，解得，
所以该扇形圆心角的弧度数为4.
故选：D.
3．【正确答案】A
根据零点的存在性定理判断.
【详解】令函数，则函数在实数集上递增，
又，，
所以函数在上有一根，即方程的根所在区间为.
故选：A.
本题考查函数零点所在区间的判断，考查根的存在性定理，属于简单题.
4．【正确答案】A
【分析】根据角的终边经过点，列方程得到，然后正切的二倍角公式列方程求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，，所以，解得，
所以，.
故选：A.
5．【正确答案】B
根据图象可求出，再根据图象所过的点求出，从而可求的值.
【详解】由图象可得且，因为，故，
故.
由图象可得为轴右侧第一个最低点，故，
故，故，
所以，
故选：B.
方法点睛：知道正弦型函数的图象，求其解析式，一般是根据图象观察振幅和周期，并利用最值点求初相位，注意也可以根据图象所过的点求初相位.
6．【正确答案】B
【分析】由可得，再代入，求解即可.
【详解】根据题意可得，
则，，
则经过n年时，有，
即，则，
所以，
则.
故选：B.
7．【正确答案】B
【分析】根据对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，所以，，即，
又因为，所以，，即，所以.
故选：B.
8．【正确答案】C
【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解.
【详解】因为函数的图象过点，所以，
因为，所以，所以，
当时，，
因为在区间上具有单调性，
所以，
即且，
则，
因为，得，
因为，所以时，，则；当时，，
综上，，即的最大值为，
故选：C.
9．【正确答案】BCD
【分析】把点代入函数解析式，求出未知系数，得到函数解析式后分析单调性奇偶性等性质，验证函数值，逐个判断选项.
【详解】函数的图像经过点，，得，∴函数.
由，故A错误；
函数为奇函数，它的图像关于原点对称，故B正确；
若，函数在上单调递减，则，即，故C正确；
当时，，∴恒成立，故D正确；
故选：BCD
10．【正确答案】AD
由三角函数的图象变换及诱导公式可得，再由三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.
【详解】由题意可得，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；
因为，所以的图象不关于点对称，故C错误；
因为时，，所以在上单调递增，故D正确.
故选：AD.
本题考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
11．【正确答案】BD
【分析】根据题意要逐一判断由选项能否推出，推出为钝角三角形，其中A,C项都无从推出钝角，B项可以利用诱导公式判断是钝角，D项利用两角差的余弦公式可推得，从而得出钝角.
【详解】对于A选项，由可得，则可以是锐角或者钝角，无法判断的符号，故A项错误；
对于B选项，由可得，因，故是钝角，都是锐角，即有；
反过来，由可得中必有一个钝角，当时,，故B项正确；
对于C选项，当 时，如果取,则，此时，不合题意，故C项错误；
对于D选项，由可得,即，因,,
则，即中必有一个是钝角，从而是锐角，即必成立，
反过来，由可得中必有一个钝角，当时,，故D项正确.
故选：BD.
12．【正确答案】ACD
【分析】推导出函数的周期为，结合周期性可判断AB选项；利用周期性和对称性求出函数在上的解析式，可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【详解】对AB，因为函数在上为奇函数，故，
因为，即，则，
故，故的周期为，故，故A正确，B错误；
对C，因为是奇函数，所以当时，，
故，则，
当时，，，
故当时，，故C正确；
对D，，即，如下图所示：
由图可知，直线与函数的图象共有个交点，故D正确．
故选：ACD．
13．【正确答案】3
【分析】由奇函数的定义和已知区间上的解析式，计算可得所求值．
【详解】函数为定义在上的奇函数，则.
故3
14．【正确答案】
【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由正数，满足，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为.
15．【正确答案】2
【分析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解即得.
【详解】.
故2.
16．【正确答案】①③④
【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④.
【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以函数的图象如图所示：

对于①，由上面的图象可知，①是正确的，
对于②，由上面的图象可知，②是错误的，
对于③，由上面的图象可知，③是正确的，
对于④，由上面的图象可知，，，，
因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有个交点，
结合图象可知，当或.
故①③④.
17．【正确答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据三角函数的定义、诱导公式求得正确答案.
（2）利用对数运算求得正确答案.
【详解】（1）角终边上一点，所以，
所以.
（2）由得，
所以.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）一元二次不等式有解问题，借助二次函数的性质即可解得；
（2）根据已知条件，判断命题和命题一真一假，分类讨论即可得到.
【详解】（1）若命题为真命题，根据二次函数的性质可得，，
解得，故a的取值范围为；
（2）若命题为真，即一元二次方程有两个负根，设为
则，解得
若命题p和命题有且只有一个是真命题，则为真假或假真
当真假时，
有，解得；
当假真时，
命题假，则或；命题为真，则
因此假真，.
综上，的取值范围为.
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据为偶函数，由求解；
（2）由（1）可求出，再由可得，即，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）函数为偶函数，
，即，
，
.
（2）由（1）知，，
，
不等式，等价于，
即，
由，解得，
由，得，
得，即，
综上，不等式的解集为.
20．【正确答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用降幂公式等化简可得，结合周期公式可得结果；
（2）由，，解不等式可得增区间；
（3）由的范围，得出的范围，根据正弦函数的性质即可得结果.
【详解】（1）
∴函数的最小正周期.
（2）由，
得，
∴所求函数的单调递增区间为，.
（3）∵， ∴
∴，，
∴的值域为.
21．【正确答案】(1)，；
(2)时，面积最小，.
【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可．
（2）设圆形铁片半径为R，面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．
【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式，
可得，整理得，
又由，所以，
即函数的定义域为，
即，．
（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，
过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，
所以=，
因为x2＞0，由基本不等式，可得，
当且仅当，即时，取等号，
所以圆形铁片的最小面积为（cm2），

答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）．
22．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将分别代入函数解析式，得到不等式，利用对数函数的性质，解不等式即可；
（2）先分析函数的定义域，方程化简可得，再将方程等价于方程，讨论一元二次方程的解即可.
【详解】（1）由于，
则，
需要保证，得，
若，则，
对数函数在区间上单调递增，
所以，且，解得，
结合正弦函数的性质，且，
不等式的解集为.
（2）的定义域为，
对于函数，
当时，的定义域为，此时；
当时，的定义域为，此时；
方程，即为
得：，即，
构造函数，其中，
当时，方程只有一个解等价于只有一个小于的正零点即可，
此时，，
开口向下的抛物线在区间可能无零点、两个零点，或抛物线的顶点恰在区间对应的横轴上，
若抛物线的顶点在区间对应的横轴上时，
抛物线对称轴满足：，解得，
有两个相等实根，，
解得（舍去）或，
故；
当时，方程只有一个解等价于只有一个大于的零点即可，
，函数有两个异号零点，
且，函数正零点大于，此种情况成立；
综上，若方程只有一个解，则或.