2024-2025学年河南省安阳市高一上学期1月期末联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省安阳市高一上学期1月期末联考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件.
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的定义域为R，则实数m的取值范围是
A．[0，8]B．[ 0，8）C．[8，+）D．
4．定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的定义域为，且，若关于的方程有4个不同实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义域为的增函数满足对任意的都有，函数满足，且时，．若在上取得最大值时的值从小到大依次为，取得最小值时的值从小到大依次为，则（ ）
A．2800B．2700C．2600D．2500
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．0与表示同一个集合；
B．集合与是两个相同的集合；
C．方程的所有解组成的集合可表示为；
D．集合可以用列举法表示．
10．下列说法正确的有（ ）
A．若则一定有
B．命题“”的否定为“”
C．若，则
D．若，则
11．下列选项正确的是（ ）
A．若锐角的终边经过点，则
B．中，“”是“是钝角三角形”的充要条件
C．函数的对称中心是
D．若，则
12．已知函数函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．存在实数，使得
C．若恒成立，则实数的取值范围为
D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知幂函数的图象过点，则 .
14．若，则的最小值为 ．
15．已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是 .
16．已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，不存在最小值；
③零点个数为，则函数的值域为；
④当时，对任意，，．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知函数，且.
(1)求.
(2)用定义证明函数在上是增函数.
(3)求函数在区间上的最大值和最小值.
19．已知函数.
(1)解关于的不等式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的最大值与最小值
20．已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称．
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
21．已知函数，且.
(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，且在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.
22．已知函数，且满足.
(1)求实数的值；
(2)若函数的图像与直线的图像只有一个交点，求的取值范围；
(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义一一判定即可.
【详解】易知，而或，
所以设，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．【正确答案】C
【分析】由补集的定义运算即可得.
【详解】由，，则.
故选：C.
3．【正确答案】A
【分析】由题意定义域为，则讨论的取值范围来求解
【详解】函数的定义域为，
即对任意，
当时，必存在使得
当时，，成立
当时，，即
综上，则的取值范围为
故选
本题主要考查的知识点是函数的定义域及其求法，当参量在最高次项前作为系数时一定要进行分类讨论是否可以取到零．
4．【正确答案】D
【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可.
【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数，
又，所以，
所以当时，满足，
当时，，也满足，
所以不等式的解集为
故选：D.
关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性和单调性，再根据其单调性和对称性对分类讨论即可.
5．【正确答案】C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
6．【正确答案】B
【分析】根据对数函数的性质判断．
【详解】，当或时，，，排除AD，
当时，，，排除C，
故选：B．
7．【正确答案】A
【分析】利用辅助角公式得，讨论其符号求范围，进而写出解析式并画出草图，数形结合得、，即可得答案.
【详解】由，
若，则，可得，
所以,
若，则，可得，
所以，
所以，其函数图象如下图，
要使有4个不同实根，则，
由图知：，故，且，
所以的范围为.
故选：A
关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出的图象为关键.
8．【正确答案】C
【分析】利用特值法得到，再根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调性和最值，然后得到当时取得最小值0，当时取得最大值4，最后计算求解即可．
【详解】由，得，
因为，所以．
因为，所以的图象关于点对称，
当时，，
则在上单调递增，且，
所以在上单调递增，且．
因为，所以的图象关于直线对称，
所以在上单调递减，且最大值为4，最小值为0．
由得，则，
所以，得，
故是以4为周期的周期函数，且在时取得最小值0，
在时取得最大值4，
所以
．
故选：C
本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调性和最值.以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数．
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为．
9．【正确答案】ACD
【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论.
【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误；
集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确；
方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误；
集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误．
故选：ACD.
10．【正确答案】BCD
【分析】举反例可判断A；根据全称命题的否定是特称命题可判断B，根据不等式的性质可判断C；作差法可判断D.
【详解】对于A，若，则一定有，故A错误；
对于B，命题“”的否定为“”，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以
，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】AD
【分析】利用三角函数定义及诱导公式可判定A，利用余弦函数的性质，三角形内角的范围结合充分必要条件的定义可判定B，利用正切函数的性质可判定C，利用诱导公式可判定D.
【详解】对A：利用三角函数定义可知，且，所以，故A正确；
对B：在中，由可知为钝角，满足充分性，
而是钝角三角形，并不能确定哪个内角为钝角，不满足必要性，故B错误;
对C：令，
知函数的对称中心是，故C错误；
对D：根据诱导公式，故D正确.
故选：AD
12．【正确答案】BCD
【分析】根据分段函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示，
可知函数的值域为，其中，故选项A错误；
对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，如图：
故选项B正确；
对于C选项，令，由，设，
①当时，，舍去；
②当时，，，可得，故选项C正确；
对于D选项，∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程有5个根，可得，有或，不妨设，如图：
可知，可得，故，故选项D正确.
故选：BCD．
关键点睛：本题D选项的关键是作出图象，找到各零点之间的关系，从而减少变量，求出范围.
13．【正确答案】
【分析】由幂函数所过的点求解析式，再求.
【详解】令幂函数，则，可得，
所以，故.
故
14．【正确答案】2
【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案.
【详解】因为，
所以
所以
.
当且仅当时，即时，等号成立.
所以答案为
本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.
15．【正确答案】//
【分析】求出函数的值域，再解不等式组即得解.
【详解】解：由题得在时，
当函数取最小值当时，函数取最大值3，
所以此时函数的值域为；
在时的值域为，
由题得.
所以.
故
16．【正确答案】①②③
【分析】①根据指数函数、二次函数性质求值域判断；②由上值域为，讨论、确定在上值域，根据不存在最小值，列不等式组求参数范围；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断.
【详解】①当时，，在上的值域为，在上值域为.
所以的最小值为0，故①正确；
②在上的值域为，
当时，在上值域为；
当时，在上值域为；
要使不存在最小值，则或，
解得或，故②正确；
③至多一个零点，至多有两个零点，
当时，若，则由，
可得或，故恒有两个零点；
时，若，则存在一个零点；
若，不存在零点，
所以时，零点个数可能为2或3个；
若，则，此时，即上无零点，
而，故有一个零点，即；
若，则，此时上，无零点，
时，也无解，故无零点，即；
综上，的值域为，故③正确；
④当时，，则，
所以，故④错误.
故①②③.
关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况.
17．【正确答案】(1){或}；
(2)
【分析】（1）先解一元二次不等式，利用交集与补集的概念计算即可；
（2）利用集合间的基本关系分类讨论计算即可.
【详解】（1）由或，即{或}，
所以.
易知{或}，
所以{或}.
（2）因为，
所以或，
解得或，即.
18．【正确答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案；
（2）根据函数单调性的定义，即可证明结论；
（3）根据函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知函数，且，
故，则
（2）由（1）知，
任取且，
则，
因为且，可得，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
（3）函数在上为单调递增函数，
所以，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
19．【正确答案】(1)；
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）利用正弦的和差公式及二倍角公式化简函数式，根据三角函数的图象与性质解不等式即可；
（2）根据三角函数图象变换结合二次函数的性质及三角函数的图象与性质求最值即可.
【详解】（1）
，即，
所以，
解得，
故的解集为.
（2）由题意可知，
则，
令，则，
当时，；当时，，
即在上的最大值为，最小值为.
20．【正确答案】(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出和最小正周期，求出，代入，求出，求出解析式，利用整体法求出单调递增区间；
（2）先根据得到，根据得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题知：，函数的最小正周期，
故，解得，
所以，则，
即，
，，
∵，
∴，
故，
令，
解得，
故函数的单调递增区间是；
（2）因为，所以，
故，，
所以，
∵不等式在上恒成立，
，即在上恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是．
21．【正确答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由奇偶性、单调性定义判断为奇函数且单调递增，再由奇函数、单调性及恒成立有恒成立，进而求参数范围；
（2）由题设得，令，则，应用指数幂运算性质有，进而将问题化为在上无零点求参数范围.
【详解】（1）由且定义域为R，即为奇函数，
由，结合指数函数及复合函数单调性知：在定义域上单调递增，
所以，
则，即恒成立，
故，可得.
（2）由且，可得，即，
令且，则，
而，即，
所以，
所以，
问题化为在上恰有一个零点，
即在上无零点，故，
由，则，只需或，
关键点点睛：第二问，令，运用指数幂运算得到，并将问题化为在上无零点.
22．【正确答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由即可求出k的值；
（2）将函数的图像与直线的图像只有一个交点，转化为只有一个实数解，即可求得参数范围；
（3）由题意知，，利用换元法，令，，转化为，，讨论三种情况，其中时，再就对称轴与区间的不同位置分和两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为，即
所以，故.
（2）由题意知方程只有一个实数解，即方程只有一个实数解，
令，则函数的图像与直线有且只有一个交点
任取且，则，所以即有
所以，故在上为减函数，
又因为，所以，故.
（3）
令，因所以，记，，
①当时，在上为增函数，所以，不合题意；
②当时，对称轴为，所以在上为增函数，
故解得，不合题意，舍去；
③当时，开口向下，对称轴为，又因为
，即时，，解得，符合题意；
，即时，，解得，不合题意，舍去.
综上所述，.
关键点点睛：本题主要考查两函数图象的交点个数与方程解的个数的转化关系以及函数的最小值取得问题.
解题关键之① 在于将两函数图象只有一个交点转化为方程只有一个实根后，对函数的图象的值域求得必须先证明单调性；
解题关键之② 在于对函数在上的最小值能否为0进行分析时，需要换元成，，且需对的取值进行讨论，在讨论时，抛物线开口向下，要求函数最小值，需对与的关系进一步分类.