2024-2025学年河南省南阳市高一上学期期终质量评估数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高一上学期期终质量评估数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．因学校政治老师比较紧缺，高一年级为了了解学生选科中包含“政治”这一科目的学生人数便于安排教学.从高一年级中随机抽取了五个班，把每个班选科中包含“政治”的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据各不相同，则样本数据中的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖率大于，至少应该购买的奖券数为（参考数据，）（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
10．已知函数，若存在最小值，则实数a的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．2
11．甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ）
A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜
B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜
C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜
D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜
12．已知，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数，则不等式的解集是 .
14．最近南阳地区举办了“十万教师大比武”活动，其中评委分为专家评委（10人）和大众评委（40人）两组.某位青年教师参加比赛的得分情况如下：专家评委组的平均分为9分，方差为0.02；大众评委组的平均分为8.5分，方差为0.02.则该教师本次比赛得分的方差是 .
15．要建造一段500m的高速公路，工程队需要把60人分成两组，一组完成一段200m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的300m的硬土地带公路的建造任务.据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是5人天和3人天.要使全队筑路工期最短，则需安排到硬土地工作的人数是 人.
16．已知实数m，n满足，则 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．（1）已知，，，求证：；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18．已知定义在R上的函数，满足.
(1)求的解析式；
(2)若点在图像上自由运动，求的最小值.
19．我市某高中对2023年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)求a的值，并估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的80%分位数.
20．多选题是新高考中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或一个都不选的得0分．某同学正在参加西昌市半期考试，当其做到多项选择题11题和12题时，发现自己不会，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是，若该同学猜答案时题目与题目之间互不影响，且第11题和第12题的正确答案都是两个选项．
(1)求该同学11题得2分的概率；
(2)求该同学第11，12题两个题总共得分为7分的概率．
21．已知函数，.
(1)解不等式；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数a的取值范围.
22．已知（a，），且为奇函数，
(1)求a，b的值；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得.
【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故.
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项错误；
对于C项，因，故，故C项正确；
对于D项，依题有，,则，故D项错误.
故选：C.
2．【正确答案】D
【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数.
【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误；
对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误；
对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误；
对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确.
故选：D.
3．【正确答案】C
【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案.
【详解】由题意知一元二次方程的两根为，
要使得方程有一个正实根和一个负实根，需，
结合选项知，只有，
即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是，
故选：C
4．【正确答案】D
【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解．
【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间，
高度的变化较大，即较大，
到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大．
故选：D．
5．【正确答案】B
【分析】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，即与函数有两个交点，作出的图象，结合图象分析实数的取值范围.
【详解】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，则与
函数有两个交点，
由题可得：，作出的图象如下：
由题可得，，，
所以要使与函数有两个交点，则实数的取值范围.
故选：B
6．【正确答案】C
【分析】分析题意，利用均值和方差的定义列方程求解即可.
【详解】设五个班级参加的人数分别为，由题意得，,分析得必定为，故，解得，或，，解得或，显然人数从低到高为，故最大值为.
故选：C
7．【正确答案】C
【分析】从对立事件考虑较简单，即考虑每张奖券不中奖概率为，依题须使不中奖率不超过，列出不等式，利用对数函数单调性解之，并用近似值代入估算即得.
【详解】不妨设至少购买张奖券，依题意，，即，
两边取常用对数化简得：，即，
代入，，计算即得：，即至少要买6张奖券.
故选：C.
8．【正确答案】C
【分析】先结合条件判断函数的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得.
【详解】依题可知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增,则在区间上单调递减.
因，则，，故，即.
故选：C.
关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是，故对于和，就必然先考虑它们与的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到.
9．【正确答案】BC
【分析】利用古典概型的定义判断即可.
【详解】对于A，实验结果有无数个，显然不是古典概型，故错误，对于B，实验结果有限且等可能，故正确，对于C，实验结果有限且等可能，故正确，对于D，显然实验并非等可能，故错误.
故选：BC
10．【正确答案】CD
【分析】运用指数函数的单调性，求得的的值域，再由对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，可得的值域，由题意列出不等式，求解即可得到所求范围．
【详解】函数函数，
当时，的范围是；
时，，，
由题意存在最小值，，
故选：CD．
11．【正确答案】AB
【分析】确定把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有多少个基本事件，然后分别计算每个选项中甲获胜的基本事件数，即可比较两人获胜的概率，即可得答案.
【详解】对于A，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，共有36个基本事件，
两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12的基本事件有：
，
，共19种，
则甲获胜的概率为，乙获胜概率小于，故此种情况对甲有利，A正确；
对于B，两次掷出的点数中最大的点数大于4，最大的点数为5或6，
最大的点数为5时，基本事件共有9个，最大的点数为6时，基本事件共有11个，
此时共有20个基本事件，则甲获胜的概率为，故此种情况对甲有利，B正确；
对于C，两次掷出的点数之和是偶数，共有，
，共18个基本事件，
则两次掷出的点数之和是奇数，也有18个基本事件，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
对于D，两次掷出的点数是一奇一偶，则基本事件有个，
两次掷出的点数均是奇数或者偶数，基本事件也是个，
此时甲、乙获胜的概率均为，此时对甲并不有利；
故选：AB
12．【正确答案】ABD
【分析】利用数形结合的方法，即分别作出以及的图象，即可判断A，C；利用中间变量，结合函数单调性，比较大小，可判断B，D.
【详解】对于A，函数均为R上的增函数，
且时，两函数值相等，均为1，时，两函数值相等，均为9，
作出函数的图象如图：
由图可知当时，，即，A正确；
对于B，时，，
由于，故，故，B正确；
对于C，作出函数的图象如图，
由图象可知当时，，即，C错误；
对于D，，则，，，
由于，故，即，D正确，
故选：ABD
方法点睛：（1）比较一次函数值与指数函数、对数函数值的大小关系，可采用数形结合的方法，即作出函数图象，可比较函数值大小关系；
（2）比较指数幂以及对数值的大小关系，可寻找中间量，结合函数单调性，进行大小比较.
13．【正确答案】
【分析】根据对数的性质可得，进而根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】,
所以,
由于函数为单调递减函数，且当时，，
所以，
故
14．【正确答案】0.06/
【分析】利用总方差公式求解即可.
【详解】设本次比赛的总方差为，易知总平均数为
由总方差公式得.
故0.06
15．【正确答案】28
【分析】设安排到硬土地工作的人数为x人，求出两地带的工作时间，确定两地带同时完工，全队筑路工期才最短，解方程并结合函数的单调性说明，即可得答案.
【详解】设安排到硬土地工作的人数为x人，则安排到软土地工作的人数为人，
则在软土地带工作时间为，在硬土地带工作时间为，
要使全队筑路工期最短，需两地带同时完工，
即，即，解得，
由于，而，
由于为增函数，在上单调递减，
故只有当时，两地带最接近于同时完工，
故需安排到硬土地工作的人数是28人，
故28
16．【正确答案】
【分析】构造函数，根据函数的单调性可得，进而根据对数的运算性质即可求解.
【详解】由可得，
记，由于函数单调递减，所以单调递增，
由可得，
又，因此，
由可得，
所以，可得，
故
17．【正确答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由乘“1”法结合基本不等式即可得证；
（2）由（1）中结论可得，由此转换成解一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）∵，，，
∴，
（当且仅当时等号成立）,
∴.
（2）由于，可将x看作（1）中的a，看作（1）中的b，
根据（1）的结论，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，
所以有成立，解得.
所以m的取值范围为.
18．【正确答案】(1)
(2)8
【分析】（1）用替换已知中的，然后解方程；
（2）利用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，①
所以，②
由①②可解得.
（2）由题知：，
∴
（当且仅当，即时取“＝”）.
∴的最小值为8.
19．【正确答案】(1)，平均分为93
(2)115
【分析】（1）根据频率之和即可求解，进而根据平均数的计算公式即可求解，
（2）根据百分位数的计算即可求解.
【详解】（1）由，解得.
即数学成绩在：
频率，频率，
频率，频率，
频率，频率，
所以平均分是：
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，在130分以下所占比例为，
因此，80%分位数一定位于内，
由，
所以样本数据的80%分位数约为115.
20．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件概率的计算公式，结合题意，可得答案.
（2）根据题意，结合（1）以及概率乘法公式，可得答案.
【详解】（1）设“该同学11题只选一个选项”为事件，则，
设“该同学11题选的一个选项是正确的”为事件，则，
易知“该同学11题得2分”等价于“该同学11只选一个选项且该选项是对得”，
即为，所以.
（2）由（1）可得“该同学12题的2分”的概率为，
该同学选两个选项的情况有六种情况，正确的只有一种，
则事件“该同学选的两个选项是正确的”的概率为，
所以事件“该同学每个题得5分”的概率为，
事件“该同学11题和12题总共得7分”等价于事件“该同学一个题得2分，另一个题得5分”，
则概率为.
21．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用对数运算及换底公式变形函数，换元并结合二次不等式求解即得.
（2）求出函数在上的值域，再分类探讨函数在上的值域，借助集合的包含关系列式求解即得.
【详解】（1）函数，
由，得，令，则不等式可化为：，
整理得，解得或，
即或，解得或，
所以原不等式的解集是.
（2）当时，，，
因此函数的值域是，依题意，是函数，值域的子集，
当时，函数在上单调递增，，
有，则，解得，于是；
当时，函数在上单调递减，，
有，则，无解，不存在符合条件的实数a；
当时，（表示数中最大者），
由，得，与矛盾，由，得，与矛盾，
综上所述，实数a的取值范围是.
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
①若，，总有成立，故；
②若，，有成立，故；
③若，，有成立，故；
④若，，有，则的值域是值域的子集 ．
22．【正确答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再进行检验即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，再利用两次换元法，结合基本不等式求得的最小值，从而得解.
【详解】（1）由题意，，即，
又为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称，
则必有，得，
故的定义域为，
因为为奇函数，所以，即，，
验证：当，时，，定义域为，
而，
所以是奇函数，
综上：，.
（2）由（1）知，，，
由有意义，得，故，
因为，所以恒成立，
设，
令，则，即，
再令，则，，
得，
因为，当且仅当时“＝”成立，
所以，
故，可得，
所以实数m的取值范围为.
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.