2025高考数学【真题精编】基础精选——立体几何与空间向量

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一、单选题
1．（2014·福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱
2．（2012·安徽）设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分不必要条件
3．（2012·全国）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为
A．πB．πC．4πD．π
4．（2013·湖南）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于
A．B．1C．D．
5．（2012·全国）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A．2B．C．D．1
6．（2010·福建）如图，若是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是
A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形
C．是棱柱D．是棱台
7．（2013·北京）如图，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．个B．个
C．个D．个
8．（2013·全国）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3
9．（2020·全国）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2020·全国）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·天津）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2005·广东）如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2004·全国）已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，底面为正方形，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
14．（2021·全国）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·全国）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
16．（2020·山东）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2007·福建）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A．B．AB与平面所成的角为
C．D．与平面所成的角为
19．（2022·全国）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·全国）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·广东江苏）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·天津）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
23．（2010·全国）正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
A．B．C．D．
24．（2013·辽宁）已知直三棱柱
A．B．C．D．
25．（2007·湖南）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直B．与垂直
C．与异面D．与异面
26．（2008·全国）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于
A．1B．C．D．2
27．（2014·全国）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
28．（2010·全国）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点
A．有且只有1个B．有且只有2个
C．有且只有3个D．有无数个
29．（2020·全国）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
30．（2004·天津）在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
31．（2021·全国）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
32．（2021·浙江）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
33．（2021·天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
34．（2009·全国）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，若在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
35．（2007·江西）四面体 外接球球心在 上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·北京）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·全国）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
38．（2022·全国）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
39．（2022·浙江）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
40．（2022·天津） 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．27D．
41．（2023·北京）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
42．（2023·天津）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
43．（2023·全国）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
44．（2023·全国）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
45．（2023·全国）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
46．（2024·全国）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
47．（2024·天津）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
48．（2024·北京）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
49．（2007·陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
A．B．C．D．
50．（2022·全国）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
51．（2021·全国）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
52．（2022·全国）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
53．（2023·全国）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
54．（2023·全国）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
三、填空题
55．（2020·山东）已知球的直径为2，则该球的体积是 .
56．（2014·山东）一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .
57．（2013·全国）已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为 .
58．（2019·天津）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
59．（2011·全国）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为 ．
60．（2020·江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
61．（2020·海南）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为
62．（2015·山东）直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是 ．
63．（2023·全国）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
64．（2023·全国）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
65．（2011·福建）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 .
66．（2011·四川）如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ．
67．（2012·山东）如图，正方体的棱长为1，分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1−EDF的体积为___________.
68．（2019·全国）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 ．
69．（2019·全国）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
70．（2019·北京）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
71．（2019·江苏）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 .
72．（2020·全国）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
73．（2020·山东）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 ．
74．（2007·辽宁）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是 ．
75．（2000·广东）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图中的 . （要求：把可能的图的序号都填上）
76．（2023·全国）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
77．（2023·全国）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
78．（2023·全国）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
79．（2024·北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
80．（2024·全国）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
四、解答题
81．（2021·全国）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
82．（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
83．（2021·全国）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
84．（2021·全国）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
85．（2007·四川）如图，是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求三棱锥的体积．
86．（2022·全国）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
87．（2022·全国）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
88．（2022·全国）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
89．（2022·天津）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
90．（2023·全国）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
91．（2023·全国）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
92．（2023·全国）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
93．（2023·全国）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
94．（2024·广东江苏）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
95．（2023·北京）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
96．（2024·全国）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
97．（2024·天津）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
98．（2024·全国）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
99．（2024·全国）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
100．（2024·北京）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
(1)若为线段中点，求证：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．