2024~2025学年湖北省大冶市九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省大冶市九年级上学期期中数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，可化为，其二次项系数是2，一次项系数是，常数项是，
故选：B．
2. 中国传统纹样产生于人民，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3. 抛物线向下平移一个单位得到抛物线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：抛物线向下平移一个单位得到抛物线解析式为：．
故选D．
4. 如图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值可以是（ ）
A. 60B. 72C. 120D. 150
【答案】B
【解析】该图形被平分成五部分，，
因此旋转的整数倍，就可以与自身重合，
旋转的度数至少为，
故选：B．
5. 若关于的方程没有实数根，则的值可以为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】∵方程没有实数根，
∴
解得，符合范围的是D，
故选：D．
6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（ ）
A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°
【答案】A
【解析】解：，，
，
，
，
；
故选：A．
7. 一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：因为这个小组有人，则每人需送出贺卡张，
依题意得：．
故选：C．
8. 在二次函数中，当时，y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：
∴图象的开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y取得最小值为3，
∴当时，y的取值范围是，
故选：D．
9. 已知方程的有两根m与n，则的值等于（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】A
【解析】解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴，
∵m，n是方程的两根，
∴，
∴原式，
故选：A
10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若，为抛物线上两点，则；其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：由图可知二次函数图象开口向上，
∴．
∵对称轴为直线，
∴，即．
∵图象过点，
∴图象还过点，
∴图象与y轴的交点位于x轴下方，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过点，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴，故②错误；
由图可知当时，该二次函数有最小值，即．
∵，，
∴，
∴对于任意实数m，都成立，故③正确；
∵，且该抛物线对称轴为直线，
∴离对称轴远，离对称轴近．
由图可知离抛物线对称轴越远的点函数值越大，
∴，故④正确．
综上可知正确的有3个．
故选C．
二、填空题（共5小题，每题3分）
11. 点关于原点对称的点的坐标为____．
【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为；
故答案为：．
12. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是____．
【答案】且
【解析】解：由一元二次方程的定义可知，
一元二次方程有实数根，
，
解得，
综上所述，k的取值范围是且．
13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是________（写出一个即可）.
【答案】4（答案不唯一）
【解析】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴时，y随x增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故答案为：4（答案不唯一）．
14. 如图，的半径为10，是的弦，，点P在弦上，则线段的最小值是____．
【答案】8
【解析】解：如图，作于点H，连接，
，，
，
当点P位于点H的位置时，线段取最小值8，
故答案为：8．
15. 如图，在等腰中，，，D、E分别为、上的点，且．将绕A点逆时针方向旋转，当点D恰好落在线段上时，则____
【答案】
【解析】解：
在和中，，
又由旋转的性质可得，
（SAS），
，，
，
，
，，和均为等腰直角三角形，
，，
点D恰好落在线段上，
设，
，
，即
，（）
得，（舍去），
故.
三、解答题（共9小题，共75分）
16. 解下列方程：
（1）；
（2） .（配方法求解）
解：（1），
，
，
解得， ；
（2），
，
，
，
解得,.
17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
解：（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
（2）由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2．
18. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值．
解：如图：
∵，矩形的面积是矩形面积的2倍，
∴，
∴，，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：此时x的值为．
19. 如图，在四边形中，，对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴；
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴；
∴；
∵，
∴
∴．
（2）连接，
∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，
∴；
∴是等边三角形，
∴；
∵，，，
∴；
∴；
∴．
20. 如图，，AB交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
解：（1）证明：，是半径，，
，，
，
；
（2）解：设的半径是r，
，
，
，
的半径是5．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.
（1）画出ΔABC绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标；
（3）若可以看作ΔABC绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标.
解：（1）图如下：；
（2）图如下：.
（3）如图：点E为旋转中心，坐标为.
22. 某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，若该商品的日销售利润不低于1500元，求销售单价的取值范围．
解：（1）设函数的表达式为，
将代入上式得：，
解得，
故y与x关系式为；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则，
∵，
∴，
∵，
故抛物线开口向下，
故当时，w随x的增大而增大，
∴当（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）当时，，
解得，
∴，
答：销售单价的取值范围为．
23. 如图，四边形是正方形，是等腰三角形，，．连接，过B作于F，连接，．
（1）若，求的度数；
（2）当变化时，的大小会发生变化吗?请说明理由；
（3）试用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（2）当变化时，的大小不变，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）线段与的数量关系为，理由如下：
过C作交延长线于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
由（2）知，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
24. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M是抛物线上的一动点，且，求点M的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，且的面积等于的面积，求点P的坐标．
解：（1）把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）把代入得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在y轴正半轴上取D0,1，连接，交抛物线于一点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时点符合题意，
设直线的解析式为：，把代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍），
把代入得，
∴点；
在y轴负半轴上取，连接，交抛物线于一点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时点符合题意，
设直线的解析式为：，把代入得：
，解得，
∴直线解析式为：，
令，
解得：，（舍），
把代入得，
∴点；
综上分析可知：点，；
（3）把代入得：，
∴点Q的坐标为，
过点Q作轴于点H，如图所示：
∴点H的坐标为：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴顶点E的坐标为，
过点E作轴的平行线，连接并延长交直线于点，如图所示：
∵将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，
∴点P在过点E平行于轴的直线上，
设点P的坐标为，
设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点的坐标为1,4，
∴，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为：或．
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40