专题14 解答中档题型：实际应用题-备战2025 深圳数学三年中考一年模拟

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1. （2024·广东深圳·统考中考真题）
【答案】任务1：；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案
【解析】
【分析】本题考查了列代数式表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
任务1：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了n辆购物车，L是车身总长，即可作答．
任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答．
任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次”，列式，再解不等式，即可作答．
【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加
∴
任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，
令，
解得：
∴一次性最多可以运输18台购物车
任务3：设x次扶手电梯，则次直梯
由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次
可列方程为：，
解得：
方案一：直梯3次，扶梯2次；
方案二：直梯2次，扶梯3次：
方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三种方案
2. （2023·广东深圳·统考中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】（1）A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）最多购置100个A玩具．
【解析】
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
【小问2详解】
设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
3. （2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本． 已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?
【答案】（1）甲类型的笔记本电脑单价为110元，乙类型的笔记本电脑单价为120元
（2）最低费用为11750元
【解析】
【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x元，则乙类型的笔记本电脑为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本电脑购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【小问1详解】
设甲类型的笔记本电脑单价为x元，则乙类型的笔记本电脑为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本电脑单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本电脑单价为110元，乙类型的笔记本电脑单价为120元．
小问2详解】
设甲类型笔记本电脑购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本电脑购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最大，最大值为（元）．
答：最低费用为11750元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
4. （2024·广东深圳·盐田区一模）尚品文具店长期销售甲、乙两种笔记本．2月份文具店花费3000元一次性购买了两种笔记本共170本，此时甲、乙两种笔记本的进价分别为15元和20元．
（1）求2月份文具店购进甲、乙两种笔记本的数量；
（2）3月份两种笔记本基本售完，文具店准备继续进货，此时两种笔记本进价有所调整．文具店花费1440元、1320元分别一次性购买甲、乙两种笔记本，已知购买甲种笔记本比乙种笔记本的数量多，甲种笔记本比乙种笔记本的进价少6元，求第二次购买乙种笔记本的数量．
【答案】（1）购进甲种笔记本本，乙种笔记本本
（2）第二次购买乙种笔记本本
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程和分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设文具店购进甲种笔记本本，根据题意列出等量关系即可得到答案；
（2）设第二次购买乙种笔记本本，列出方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设文具店购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
，
文具店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本；
【小问2详解】
解：设第二次购买乙种笔记本本，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
故第二次购买乙种笔记本本．
5. （2024·广东深圳·福田区三模）坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动．笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
（1）求：每个“文创雪糕”、“牌甜筒”的进价各为多少元？
（2）“牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量（个）与售价（元/个）之间满足一次函数关系：，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润（元）最大，此时笑笑该如何进货？
【答案】（1）“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个
（2）当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案；
（2）根据题意得出关于的二次函数函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案．
【小问1详解】
解：设“牌甜筒”的进价为元/个，则“文创雪糕”的进价为元/个，
依题意得，
解得，，
经检验，是原方程的解，
所以，．
答：“牌甜筒”的进价为2元/个，“文创雪糕”的进价为3元/个；
【小问2详解】
依题意得，
，
当时，每天总利润最大，
此时，（个），（个），
答：当文创雪糕销售单价为8元时，每天总利润最大，为获得最大利润，笑笑应购进40个“文创雪糕”，160个“牌甜筒”．
6. （2024·广东深圳·33校联考二模）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标，高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
则设___为y，__为x，y是x的函数；
（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有_________
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60 千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在_______至______千米/小时范围内．
【答案】（1）速度，续航里程
（2）见解析 （3）②③
（4）30，110
【解析】
【分析】题考查列表法表示函数关系，熟练掌握自变量、因变量的定义．
（1）根据表格，由函数定义求解即可；
（2）利用表格数据，描点法画函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出结果；
（4）由函数图象即可得出结果．
【小问1详解】
∵y是x的函数，
∴速度为x，续航里程为y．
故答案为：速度，续航里程；
【小问2详解】
该函数的图象如图所示：
【小问3详解】
解：根据函数图象得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故①说法错误；
当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大，故②说法正确；
汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小，故③说法正确；
正确的有：②③，
故答案为：②③；
【小问4详解】
解：根据函数图象得：想要该车辆的续航里程保持在460千米以上，该车的车速大约控制在30至110千米/小时范围内，
故答案为：30，110．
7. （2024·广东深圳·33校联考二模）随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富．某店有A、B两种熊猫玩偶，已知每个A款熊猫玩偶的售价是每个B款熊猫玩偶售价的倍，顾客用150元购买A款熊猫玩偶的数量比用150元购买B款熊猫玩偶的数量少1个．
（1）求每个B款熊猫玩偶的售价为多少元？
（2）经统计，该店每月卖出A款熊猫玩偶100个，每个A款熊猫玩偶的利润为16元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可多售出20个．该店想每月销售A款熊猫玩偶的利润达到1200元，每个A款熊猫玩偶应降价多少元？
【答案】（1）每个B款熊猫玩偶的售价为25元
（2）每个A款熊猫玩偶应降价10元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键．
（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据顾客用1500元购买A款电器的数量比用1500元购买B款电器的数量少1台，列出分式方程求解即可；
（2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【小问1详解】
解：设每个B款熊猫玩偶的售价为x元，则A款熊猫玩偶的售价为，
由题意，得 ，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
每个B款熊猫玩偶的售价为25元；
【小问2详解】
设每个A款熊猫玩偶应降价m元，
，
解得：（舍去），，
答：每个A款熊猫玩偶应降价10元．
8. （2024·广东深圳·33校联考一模）某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元；如图，在销售过程中发现销量与售价x（元）之间满足一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y与x的之间的函数解析式为：，自变量x的取值范围为：；
（2）W与x之间的函数关系式为：；当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大；最大利润是192元．
【解析】
【分析】考查一次函数、二次函数的应用，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．
（1）根据一次函数过，可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式，
（2）先求出总利润与函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．
【小问1详解】
解：设y与x的解析式为，把，代入，
得：，
解得：，
y与x的之间的函数解析式为：，
自变量x的取值范围为：；
小问2详解】
解：
，抛物线开口向下，对称轴为，
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
，
当时，W最大元
答：W与x之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
9. （2024·广东深圳·南山区一模）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
【答案】（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【解析】
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设，由题意有
，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．
．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
10. （2024·广东深圳·宝安区二模）临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每支铅笔3元，每支水笔2元．
（2）商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
【解析】
【分析】（1）根据题中的已知条件列分式方程，解方程即可得到答案，分式方程的应用题，注意检验；
（2）根据题意，先求出铅笔购买数量的取值范围，然后写出费用关于铅笔数量的函数关系式，根据函数的增减性可得购买数量，进而可求得最大利润．
【小问1详解】
解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为（x-1）元，
由题意可得： ，
解得，x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴每支铅笔3元，每支水笔2元．
【小问2详解】
解：设购进铅笔a支，则购进水笔（2a+60）支，
由题意可得，a+2a+60≤360，
解得 a≤100，
总利润W=（4-3）a+（2.5-2）（2a+60）
=2a+30
∵k=2>0，
∴W随a的增大而增大，
故当a=100时，利润最大，最大利润=2×100+30=230（元），
所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
【点睛】本题考查方程、不等式、一次函数的综合，准确理解题意是解题的关键，分式方程易忘记检验，需要注意．
11. （2024·广东深圳·宝安区三模）端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克粽子的进价是10元；
【小问2详解】
设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，
由题意得：，
解得：，
设总利润为元，
由题意得：，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最大值，
答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
12. （2024·广东深圳·福田区二模）某玩具商场内有形形色色的玩具，其中两种玩具最受孩子们欢迎．已知1个种玩具和2个种玩具共卖360元，2个种玩具和3个种玩具共卖640元．
（1）两种玩具的单价各是多少元？
（2）某机构计划团购两种玩具共15个，其中种玩具的数量不超过种玩具数量的，则该机构购买多少个种玩具花费最低？最低花费为多少元？
【答案】（1）种玩具的单价为200元、种玩具的单价为80元
（2）当购买种玩具10个时花费最低，最低花费为2400元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用：
（1）根据两种购买信息列出二元一次方程组，解之可得单价；
（2）由两种玩具数量限制列不等式求得A玩具数量的范围，再由利润和A玩具数量的函数关系，确定A的具体数量求出函数值即可．
【小问1详解】
解：设种玩具的单价为元、种玩具的单价为元．
由题意得
解得
答：种玩具的单价为200元、种玩具的单价为80元．
【小问2详解】
解：设购买种玩具个，则购买种玩具个．
由题意得，
解得．
设总价为元，
则．
，
∴W随的增大而增大，
当时，（元）．
答：当购买种玩具10个时花费最低，最低花费为2400元．
（2024·广东深圳·光明区二模） 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【小问1详解】
解：设每次上涨的百分率为，列方程为：
，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
【小问2详解】
解：设销售单价降低元，销售利润为元，
，
∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元．
14. （2024·广东深圳·33校三模）中华文化源远流长，博大精深，诗词向来是以其阳春白雪式的唯美典雅，吸引了无数虔诚的追随者．《诗经》《楚辞》是我国历史较为久远的著作．某书店的《诗经》单价是《楚辞》单价的，用720元购买《诗经》比购买《楚辞》多买6本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元；
（2）为筹备4月23日的“世界读书日”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共160本，且购买的《楚辞》数量不少于《诗经》数量的一半，求两种图书分别购买多少本时费用最少．
【答案】（1）《楚辞》的单价是40元，《诗经》的单价是30元
（2）购买106本《诗经》、54本《楚辞》
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程、一次函数的实际应用：
（1）设《楚辞》的单价是x元，则《诗经》的单价是元，根据所给数量关系列分式方程，求出解后代入检验即可；
（2）设购买m本《诗经》，则购买本《楚辞》，根据两者数量关系列不等式，求出m的取值范围，再求出总费用与m的一次函数关系式，即可求解．
【小问1详解】
解：设《楚辞》的单价是x元，则《诗经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：《楚辞》的单价是40元，《诗经》的单价是30元：
【小问2详解】
解：设购买m本《诗经》，则购买本《楚辞》，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费w元，则，
，，
，
随m的增大而减小，
又，且m为正整数，
当时，w取得最小值，此时．
答：当购买106本《诗经》、54本《楚辞》时，总费用最少．
15. （2024·广东深圳·龙华区二模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下：
（1）求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？
（2）小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？
【答案】（1）一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分
（2）她至少投入壶内2支箭
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键．
（1）设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可；
（2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可．
【小问1详解】
设一支弓箭投入壶内得x分，投入壶耳得y分，根据题意得
解得
答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分；
【小问2详解】
设投入壶内m支箭，根据题意可得
解得：
∵m需取整数
答：她至少投入壶内2支箭．
16. （2024·广东深圳·罗湖区二模）2023年“尔滨”厚积薄发，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进A、B两种纪念品，用900元购进的A种纪念品与用1200元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多5元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该纪念品经销店A种纪念品每件售价18元，B种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进500件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元，求A种纪念品最多购进多少件．
【答案】（1）A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元；
（2）A种纪念品最多购进400件．
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案；
（2）设种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于1700元”列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有

解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴A种纪念品的进价为15元，则B种纪念品的进价为元；
【小问2详解】
解：设A种纪念品购进a件，根据题意：
，
解得，
∴A种纪念品最多购进400件．
17. （2024·广东深圳·罗湖区三模）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
（1）A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
（2）再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
【解析】
【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，
根据题意得：10，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
【小问2详解】
设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，
根据题意得：，
解得：，
设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时．
答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
18. （2024·广东深圳·南山区三模）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
【答案】（1）前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元
（2）学校最多购买了62支钢笔作为奖品
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，解题关键是理清题目中的数量关系，掌握分式方程及一元一次不等式的应用．
（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可；
（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可．
【小问1详解】
解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元．
【小问2详解】
解：设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为62，
答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．
19. （2024·广东深圳·南山区二模）烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
（1）求甲、乙两种烟花的进货单价；
（2）小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费．
【答案】（1）甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
（2）购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式．
（1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果．
【小问1详解】
解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为元；
【小问2详解】
设购进甲种烟花m个，则乙种烟花个，花费为y元，
由题意得：，
∵乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，
∴，
解得：，
∵，则y随m的增大而减小，
∴当时，y最小，最小元，
则，
答：购进甲种烟花个，则乙种烟花个，花费最少为元．
20. （2024·广东深圳·九下期中）学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．

（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍数量为羽毛球拍数量的3倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？
【答案】（1）每支羽毛球拍80元，每支乒乓球拍60元
（2）最多能购买20支羽毛球拍
【解析】
【分析】（1）设每支羽毛球拍x元，每支乒乓球拍y元，根据图中信息列出方程组求解即可；
（2）设羽毛球拍数量为m支，则乒乓球拍的数量为3m支，根据用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍列出不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设每支羽毛球拍x元，每支乒乓球拍y元，
由图得：，
解得，
答：每支羽毛球拍80元，每支乒乓球拍60元；
【小问2详解】
设羽毛球拍数量为m支，则乒乓球拍的数量为3m支，
由题意得：，
解得，
∴整数m的最大值为20，
答：最多能购买20支羽毛球拍．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意列出方程组和不等式．
21. （2024·广东深圳·红岭中学模拟）某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍.
（1）求A、B两种商品每件售价各多少元；
（2）B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）种商品售价为25元 ;种商品售价为30元；
（2）当B种商品销售单价a为35元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为1025元；
【解析】
【分析】（1）根据题意设商品的售价为元，则商品的售价为元，再由题意列出分式方程，解之即可；
（2）根据题意列出等式，化简即可求得答案．
【小问1详解】
解：设商品的售价为元，则商品的售价为元，
由题意得：
解得
经经验，符合题意，是分式方程的解，
商品的售价为元，则商品的售价为元．
【小问2详解】
解：根据题意得
化简得．
当B种商品销售单价a为元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为元
【点睛】本题考查了分式方程及二次函数销售应用题，解题关键是正确列出分式方程和会求二次函数的最值．
背景
【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材
如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1
若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2
若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3
若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
速度（千米/小时）
10
20
30
40
60
80
100
120
140
160
续航里程（千米）
100
340
460
530
580
560
500
430
380
310
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
黑色水笔
2.5元/支
投入壶内
投入壶耳
落在地上
总分
小龙
3支
4支
3支
27分
小华
3支
3支
4支
24分