专题15 解答中档题型：圆的计算与证明-备战2025 深圳数学三年中考一年模拟

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1. （2024·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接并延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵为的切线，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
【小问2详解】
由（1）知四边形为矩形，，，
∴，
∴，
设的半径为，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
即：的半径为．
2. （2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）求的长度．
【答案】（1）画图见解析，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
如图所示，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴为的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴解得．
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3. （2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
（1）的值为 ；
（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
（3）点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
【答案】（1）
（2）图见解析，和
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
∴．
【小问2详解】
平移后的图象如图所示：
由题意得：，
解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
【小问3详解】
由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
4. （2024·广东深圳·盐田区一模）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种性质是解题的关键．
（1）连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明结论；
（2）作于点，利用已知条件证明，利用比例式求出线段长．
【小问1详解】
证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
直线是的切线；
小问2详解】
解：作于点，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
5. （2024·广东深圳·福田区三模）如图1，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作交于点E，连接．
（1）证明：．
（2）如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，若，且，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧与弦，圆心角，圆周角之间的关系，等腰直角三角的性质与判定，勾股定理等等：
（1）由直径所对的圆周角是直角得到 ，由平行线的性质得到，证明，得到，再证明，即可证明；
（2）如图所示，连接，先求出，则，进而得到，由平行线的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，可得，则；
∵是的切线，再证明，得到，则．
【小问1详解】
证明：设交于G，
∵为的直径，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴；
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6. （2024·广东深圳·33校联考二模）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；
（2）25．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质与判定、等腰三角形的性质、解直角三角的相关计算、菱形的面积计算，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
第一问，由等腰三角形三线合一，结合平行线的性质，可证，得到，推出四边形是平行四边形，再结合邻边相等，得证；
第二问，由，得到和的比，再利用勾股定理得到和的长度，最后由菱形的面积公式得出答案．
【小问1详解】
四边形是菱形，理由如下，
，平分，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，．
，
四边形是菱形．
【小问2详解】
，O是的中点，
∴，
∴，
，
，
，
，
设,则，
由得, ，
,即，
四边形是菱形，
，，
．
故答案为：25．
7. （2024·广东深圳·33校联考一模）如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；
①；②；③；
你选的条件是：______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，理解并掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键．
（1）由直径所对圆周角为直角可知，结合圆周定理可知，由，可知，进而可知，即可证明结论；
（2）若选②，由等弧所对圆周角相等可知，结合（1）证，由圆周角定理可知，证得，进而可得结论；
若选③由同弧所对圆周角相等可知，结合，可知，得，同②，可证．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
若选②；
∵，
∴，
由（1）可知：，
∴，
由圆周角定理可知，
∴，
∴；
若选③；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同②，可知；
8. （2024·广东深圳·南山区一模）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；
（2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为．
【小问1详解】
解：如图所示，⊙A即为所求作：
【小问2详解】
解：根据题意，作出图形如下：
设，⊙A的半径为r，
∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，
∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形AEFG是矩形，
又，
∴四边形AEFG是正方形，
∴，
在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，
∴，
在Rt△ABE中，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB＝CD，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADE中，，即，
∴，即，
∵，
∴，即tan∠ADB的值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．
9. （2024·广东深圳·宝安区二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．
（1）求遮阳棚半径的长度．
（2）如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
（3）如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
【答案】（1）
（2）植物顶端不能被太阳照射，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）解直角三角形，求得结果；
（2）连接，延长交于，可证得，从而得出，，从而求得的值，进而得出，从而得出，进一步得出结果；
（3）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为，从而可设设，从而表示出，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：如图1，
，，
，
，，
，
；
【小问2详解】
如图2，
植物顶端不能被太阳照射，理由如下：
连接，延长交于，
与相切，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
植物顶端不能被太阳照射；
【小问3详解】
解：如图3，
以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，
，，
设抛物线的解析式为：，
，
，
，
设，
，
当时， 有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式．
10. （2024·广东深圳·宝安区三模）如图，是的外接圆，连接交于点．
（1）求证：与互余；
（2）若，，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）延长交于点，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，利用互余及圆周角定理代换即可得证；
（2）由题中条件得到，利用相似比，代值求解得到即可确定答案．
【小问1详解】
证明：延长交于点，连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、互余、相似三角形的判定与性质、圆的性质等知识，熟练掌握圆的性质及三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
11. （2024·广东深圳·福田区二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析 （3）⊙O的半径为．
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；
（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．
（3）由（2）得：，，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可.
【小问1详解】
解：方法不唯一，如图所示．
.
【小问2详解】
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵点在以为直径的圆上，
∴，
∴．
又∵为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵在和中，
∴．
∴．
【小问3详解】
由（2）得：，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12. （2024·广东深圳·光明区二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．
（1）求证：是的切线：
（2）若，求切线的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解；
（2）由三角形的中位线得到，，
在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解，
【小问1详解】
解：连接，
13. （2024·广东深圳·33校三模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为2
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
（1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论；
（2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为2．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键．
14. （2024·广东深圳·龙华区二模）如图，以为直径的⊙交于点D，，垂足为E．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．
【答案】（1）增加条件：，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．
（1）添加条件：（答案不唯一）．证明，推出即可；
（2）解直角三角形分别求出，，再证明，得出，进而可得答案．
【小问1详解】
增加条件：．
证明：连接，
∵为的直径，
，
∵，，
，
∵，，
，
又∵，
，
即，
∵为半径，
为的切线；
【小问2详解】
在中，，，
，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
，
又∵，，
，
，
，
即的半径为．
15. （2024·广东深圳·罗湖区二模）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）9
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定：
（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得；
（2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
设，则，
在中：由勾股定理得，
在中：由勾股定理得，
∴，
解得
∴的半径为9．
16. （2024·广东深圳·罗湖区三模）如图，是的直径，点在上；按下列步完成作图，并回答问题：
①作的平分线交于点，
②过点作直线的垂线，交的延长线于点，
③连接，
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）作图见解析，证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，作射线交于点，连接，由可得平分，延长交于格点，由中位线性质可知，取中点即可得到，由矩形对角线性质即可得到点，如图所示，按照要求作出图形后，连接，如图所示，由圆的性质、角平分线定义得到，再由平行线的判定确定，再由平行线性质即可得证；
（2）过点作于，如图所示，在中，由勾股定理得到长，从而求出角度得到是等边三角形，由等腰三角形性质及勾股定理求解即可得到答案．
【小问1详解】
根据题意，如图所示：
证明：连接，如图所示：
，
，
平分角，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
【小问2详解】
解：过点作于，如图所示：
平分角，，，
，
，
∴半径，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
又，
，
，
在中，．
【点睛】本题考查在网格中作图，涉及垂径定理、圆周角定理、三角形中位线性质、矩形性质、圆的性质、角平分线定义、平行线的判定与性质、圆的切线的判定、勾股定理、直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意，作出图形，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．
17. （2024·广东深圳·南山区三模）如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作，垂足为E．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线定理，垂直的意义和平行线的性质，圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理求得线段的长度，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图，

∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：的半径为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
18. （2024·广东深圳·南山区二模）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出是的切线；
（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【小问1详解】
证明：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，的半径为3，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
则：，
∴，
∴．
19. （2024·广东深圳·九下期中）家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，电阻(单位：)随温度t(单位：)(在一定范围内)变化而变化，通电后该表记录了发热材料温度从上升到的过程中，发现电阻与温度有如下关系：
（1）根据表中的数据，在图中描出实数对的对应点，猜测并确定与之间的函数解析式并画出其图象；
（2）当时，与的函数解析式为．在图中画出该函数图象；
（3）根据以上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内发热材料的电阻不超过？
【答案】（1）R=，图像见解析
（2）图像见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用；
（1）设与之间的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解，进而根据表格数据，画出函数图象
（2）根据，在函数图象上，画出一次函数解析式，即可求解；
（3）结合函数图象，即可求解．
【小问1详解】
解：描点如图所示．
由题意得当时，设与之间的函数解析式为.
将代入中，解得，
∴反比例函数的解析式为（）．
其图象如图．
【小问2详解】
当时，与间的函数解析式为.
∵当时，；当时，，
∴，在函数上，其图象如图．
【小问3详解】
根据图上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在时发热材料的电阻不超过.
20. （2024·广东深圳·红岭中学模拟）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的直径为4，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长为．
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，设，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
为的直径，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
在中，，
解得，
故的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．