2025高考数学二轮复习-专题3 数列 第3讲 数列求和【课件】

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1.(人A选必二4.2节习题改编)在数列{an}中,a1=1,且an+an+1=2n(n∈N*),则其前41项的和为(　　)A.841B.421C.840D.420
解析 设数列{an}的前n项和为Sn,因为a1=1,且an+an+1=2n(n∈N*),则S41=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a40+a41)=1+2×2+2×4+2×6+…+2×40=1+2×(2+4+6+…+40)=1+2 =841.故选A.
2.(人A选必二4.3节习题改编)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中,后人称为“三角垛”,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…,设从上往下各层的球数构成数列{an},则
3.(人A选必二4.3节习题改编)数列{an}满足an+2+(-1)nan=2n-1,前12项和为164,则a1的值为(　　)A.4B.5C.6D.7解析 因为an+2+(-1)nan=2n-1,所以a2+a4=3,a6+a8=11,a10+a12=19,a3-a1=1,a5-a3=5,…,a11-a9=17.因为前12项和为164,所以a1+a2+a3+…+a12=(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)=164,所以a1+a3+…+a11=131,即a1+(a1+1)+(a1+6)+(a1+15)+(a1+28)+(a1+45)=131,解得a1=6.故选C.
4.(人A选必二第四章习题改编)已知数列{an}的前n项和为Sn且an= ,若Sn+an>(-1)na对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)
1.(2021·全国甲,理7)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则(　　)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析 当数列{an}满足q=1>0,a1=-1时,an=-1,Sn=-n,{Sn}不是递增数列;当{Sn}是递增数列时,n≥2时,an=Sn-Sn-1>0,q>0,所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
例1(2023·新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列, 记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
(1)解 设等差数列{an}的公差为d,解得a1=5,d=2,an=a1+(n-1)d=2n+3,所以数列{an}的通项公式是an=2n+3.
解 (1)当n=1时,a1=S1=1.当n=1时,也符合an=n.综上,an=n.
考点二 错位相减法求和
例2(2021·全国乙,文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn