2025高考数学二轮复习-专题6 解析几何 第1讲 直线与圆【课件】

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1.(人A选必一2.5.1节习题改编)直线2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为　　　　　. 
2.(人B选必一2.2节习题改编)已知直线l1:(m+2)x-(m-2)y+2=0,直线l2:3x+my-5=0,且l1⊥l2,则实数m的值为　　　　　　. 
解析 因为l1⊥l2,所以3(m+2)-m(m-2)=0,即m2-5m-6=0,解得m=6或m=-1.
3.(人A选必一2.5.1节例题改编)过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为　　 　　　　. 
y-1=0或4x-3y-5=0
4.(人B选必一2.3.4节探索与研究改编)圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=8的公切线方程为　　　　 　　. 
x-y+2=0和x+y+2=0
解析 设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,解得k=1,b=2或k=-1,b=-2,故公切线方程为x-y+2=0和x+y+2=0.
5.(人B选必一第二章习题改编)过点P(6,3)作圆x2+y2-8x+6y=0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB的方程为　　　 　　　. 
2x+6y-15=0
解析 记圆x2+y2-8x+6y=0的圆心为C(4,-3),因此以PC为直径的圆的圆心坐标为(5,0),半径为所以该圆的方程为(x-5)2+y2=10,将两圆方程相减得直线AB的方程为2x+6y-15=0.
1.(2024·北京,3)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为(　　)
2.(2023·新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)
解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R= .过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,
3.(2023·新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值　 　　　　. 
4.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:　　　　　　　　. 
x=-1(答案不唯一)
解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
考点一 直线与圆的位置关系
考向1直线与圆的位置关系及其应用
例1(1)(2024·浙江余姚模拟)已知圆C:x2+2x+y2-1=0,直线l:x+n(y-1)=0与圆C(　　)A.相离B.相切C.相交D.相交或相切
解析 根据题意,直线l:x+n(y-1)=0恒过定点P(0,1).圆C:x2+2x+y2-1=0,即(x+1)2+y2=2,其圆心为C(-1,0),半径r= .由|PC|2=12+12=2=r2,得点P在圆C上,则直线l与圆C相交或相切.故选D.
(2)(2024·全国甲,理12)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)A.1B.2C.4D.2
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[对点训练1](多选题)(2024·山东济南模拟)已知直线l:x+my-m+2=0,圆C:(x-1)2+(y-2)2=5,则下列说法正确的有(　　)A.直线l恒过定点(-2,1)B.直线l与圆C相交C.当直线l平分圆C时,m=-3D.当圆心C到直线l的距离最大时,m=
考向2圆的切线相关问题
例2(多选题)(2024·辽宁大连模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,M是直线l:y=-x-1上的动点,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则下列说法正确的有(　　)
(7)线段AB称为切点弦,它是圆C与经过P,A,C,B四点的圆的公共弦,因此可以将这两个圆的方程相减得切点弦AB所在直线的方程.特别地,若圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,P(x0,y0),则切点弦AB所在直线的方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.(8)切点弦AB所在直线所过定点坐标的求法.在直线l上设点P坐标为(m,n),然后用m,n表示出切点弦AB所在直线的方程,借助m,n的关系即可确定切点弦AB所在直线所过定点的坐标.
[对点训练2](2024·山东潍坊模拟)已知圆O:x2+y2=4,P为直线l:y=x+4上一点,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A和B.若四边形PAOB的面积为12,则直线AB的方程为　　　　　 　　　. 
3x+y+2=0或x+3y-2=0
解得m=-6或m=2.当m=-6时,P(-6,-2),此时直线AB的方程为-6x-2y=4,化简得3x+y+2=0;当m=2时,P(2,6),此时直线AB的方程为2x+6y=4,化简得x+3y-2 =0.所以直线AB的方程为3x+y+2=0或x+3y-2=0.
考点二 圆与圆的位置关系及其应用
例3(2024·山东菏泽模拟)已知圆C1:x2+(y-3)2=8与圆C2:(x-a)2+y2=8相交于A,B两点,直线AB交x轴于点P,则 的最小值为(　　)
[对点训练3](多选题)(2024·安徽合肥模拟)已知圆O:x2+y2=1, 圆C:(x-a)2+(y-1)2=4(a∈R),则下列说法正确的有(　　)A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2
考点三 “隐圆”及其应用
例4(1)(2024·福建泉州模拟)已知A(0,-1),B(0,2),若直线l:y=ax+2上有且只有一点P满足|PB|=2|PA|,则a的值为(　　)
解析 因为直线l1:mx-y-5m+1=0,l2:x+my-5m-1=0,所以l1⊥l2.又l1的方程可化为m(x-5)-y+1=0,所以l1过定点M(5,1),l2的方程可化为m(y-5)+x-1=0,所以l2过定点N(1,5),因此点P的轨迹是以MN为直径的圆(除去点(5,5)),其方程为(x-3)2+(y-3)2=8,x≠5,其圆心为E(3,3),半径r=2 .由于|AB|=2 ,
[对点训练4](1)(2024·山东青岛模拟)已知圆O1:x2+(y-m)2=4上动弦AB的长为2 ,若圆O2:x2+y2=9上存在点P恰为线段AB的中点,则实数m的取值范围是(　　)A.[2,4]B.[1,3]C.[-4,-2]∪[2,4]D.[-3,-1]∪[1,3]
解析 由圆O1:x2+(y-m)2=4上动弦AB的长为2 ,可知弦AB的中点P到圆心O1的距离为|O1P|= =1,所以动点P的轨迹为以O1为圆心,1为半径的圆,其轨迹方程为x2+(y-m)2=1.又圆O2:x2+y2=9上存在点P,则圆O2与圆x2+(y-m)2=1有公共点,圆O2:x2+y2=9的圆心为O2(0,0),半径为3,则3-1 ≤ |O2O1|≤3+1,即2≤|m|≤4,解得-4≤m≤-2或2≤m≤4,即m∈[-4,-2]∪[2,4].故选C.
(2)(2024·河北石家庄模拟)若△ABC满足条件AB=4,AC= BC,则△ABC面积的最大值为　　　　　.