2025高考数学二轮复习-专题突破练7 三角函数的化简与求值【课件】

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4.(2024·福建漳州一模)在平面直角坐标系Oxy中,A(-1,2),B(2,2),射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,则tan θ=(　　)A.3B.2C.4D.5
2cs 20°cs α=cs(α+20°)+cs(α-20°).因为sin(130°+α)=2cs 20°cs α,
9.(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3,4),则(　　)
10.(2024·河北保定二模)一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的,所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义:①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α;②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cs α,即x=cs α;③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割,记作csc α,即 =csc α;④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割,记作sec α,即 =sec α.下列结论正确的有(　　)B.cs α·sec α=1C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}D.sec2α+sin2α+csc2α+cs2α≥5
11.(2024·上海奉贤二模)已知α∈[0,π],且2cs 2α-3cs α=5,则α=　　　　　. 
解析 已知2cs 2α-3cs α=5,由倍角公式得4cs2α-3cs α-7=(4cs α-7)(cs α+1)=0.由α∈[0,π],cs α∈[-1,1],解得cs α=-1,则α=π.
13.(2024·河北邯郸二模)正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,设∠CAD=α,则cs α+cs 2α+cs 3α+cs 4α=　　　　　,cs αcs 2αcs 3α·cs 4α=　 . 
解析 由题可得,正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形,五个三角形各自的内角之和为180°,则正五边形的内角和180°×(5-2) =180°×3=540°,每个角为 =108°.因为三角形是等腰三角形,底角是五边形的外角,即底角为180°-108°=72°.又三角形内角和为180°,那么三角形顶角,即五角星尖角为180°-72°×2=36°,即∠CAD=α=36°.则cs α+cs 2α+cs 3α+cs 4α=cs 36°+cs 72°+cs 108°+cs 144°=cs 36°+cs 72°+cs(180°-72°)+cs(180°-36°)=cs 36°+cs 72°-cs 72°-cs 36°=0,cs αcs 2αcs 3αcs 4α=cs 36°cs 72°cs 108°cs 144°=(cs 36°cs 72°)2.
所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α =2[sin(α+β)cs α-cs(α+β)sin α],即3cs(α+β)sin α=sin(α+β)cs α,所以tan(α+β)=3tan α.因为tan α>0,tan β>0,所以tan β=tan[(α+β)-α]